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第二章 一阶微分方程的初等解法 §2.1 变量分离方程与变量变换 习题2.1 求下列方程的解 1．，并求满足初始条件：的特解． 解 分离变量，得到，两边积分，即得，因而，通解为 ，这里是任意常数．此外，方程还有解． 由得，特解． 2．，并求满足初始条件：的特解． 解 分离变量，得到，两边积分，即得，因而，通解为，这里是任意常数．此外，和是两条积分曲线． 由得，特解． 3．． 解 分离变量，得到，两边积分，即得，所以得通解，这里是任意正常数． 4．． 解 分离变量，得到，两边积分，即得，因此得通解，这里是任意常数．另有特解和． 5．． 解 变形得 ，这是齐次方程，设，得，代入原方程得 ，分离变量得 ，两边积分，即得 ，即， 这里是任意常数． 6．． 解 变形得 ，这是齐次方程，设，得，代入原方程得 ，分离变量积分，即得 ，即． ，即， 这里是任意常数． 7．． 解 分离变量，得到，两边积分，即得，所以通解为，这里的任意常数．另有特解，及，，这只须在通解表达式中允许即可，故通解为，这里是任意常数． 8．． 解 分离变量，得到，两边积分，即得，得到通解，这里是任意常数． 9．． 解 变形得，令，则，代入方程并分离变量得，，两边积分，即得，或，回代原变量有，，或，这里的任意常数．另有特解满足，即，这只须在通解表达式中允许即可，故通解为，这里是任意常数． 10．． 解 分离变量，得到，积分得，这里是任意常数． 作适当的变量变换求解下列方程（11—17） 11．． 解 设，则，原方程化为，即通解为 ，这里是任意常数． 12．． 解 ，由上题，注意到这里的和相当于上题的和，得到方程的通解为 ，这里是任意常数． 13．． 解 由得，令就有，这是齐次方程，令，有，代入方程后分离变量，，得到，回代变量得即为原方程的通解，这里是任意常数． 14．． 解 令，则，代入方程得 ，分离变量并积分得，，即为方程的通解，这里是任意常数． 15．． 解 变形为，令，则，代入原方程得，分离变量解之得，，回代原变量并变形化简，得到通解 ，这里是任意常数． 16．． 解 变形为，令，则原方程化为 ，解之得，即为方程的通解，这里是任意常数． 17．． 解 变形为，令，原方程变为，由，得到．设，则有，再令，得到，于是，解得，逐步回代变量，得原方程的通解为，这里是任意常数． 18．证明方程经变换可化为变量分离方程，并由此求解下列方程： （1）； （2）． 证明 令，则得，代入原方程得是变量分离方程． （1）中，所以，分离变量求解得 ， 即得原告方程的通解 ． （2）中，所以，分离变量求解得 ， 即得原告方程的通解 ． 19．已知，试求函数的一般表达式． 解 变形后等式两边对求导，有 ，即 ，解得，由，得，所以． 20．求具有性质的函数，已知存在． 解 因为存在，故在连续，即． 由，令就有，得到． ， 令取极限，由于右边的极限为，故左边的极限存在，从而得到函数满足的方程， ，解之得 ，或．由，推出，所以，． 21．求一曲线，使它的切线介于两坐标轴之间的部分被切点分成相等的部分． 解 由习题1.2—9（4），知曲线应满足的方程，即，分离变量解之得，，或为所求的曲线． 22．在图（2.1）所示的电路中，设伏，欧，法，而开始时电容上没有电荷，问： （1）当开关合上“1”后，经过多长时间电容上的电压伏？ （2）当开关合上“1”后，经过相当长的时间（如1分钟后）开关从“1”突然转至“2”，试求的变化规律，并问经过多长时间伏？ 解 （1）由例7，，将，，代入，有 ， 由，反解出，即经过约秒，电容上的电压伏． （2）同样由例7，，代入具体数值有，由，同样得到，即经过约秒，电容上的电压伏． 23．求出习题1.2第9题（1）所确定的曲线，其中． 解 由习题1.2—9（1），，代入得，这是齐次方程，令，则，代入得，解出即为所求曲线． 24．证明满足习题1.2第9题（7）所给条件的曲线是抛物线族． 证明 由习题1.2—9（7），常数)，解之得，这是抛物线族，顶点在，对称轴为轴． §2.2 线性方程与常数变易法 习题2.2 求下列方程的解： 1．． 解 首先，求齐次线性方程的通解，从得到齐次方程通解，令为方程的解，代入得，即，故原方程的通解为，其中为任意常数． 2．． 解 由，解出，设是原方程的解，代入原方程得，，故，所以原方程的通解为，其中为任意常数． 3．． 解 由，解得，设是原方程的解，代入原方程得，，得，所以通解为，其中为任意常数． 4．为常数． 解 由，解得，设是原方程的解，代入原方程得，，即，所以通解为，这里为任意常数． 5．． 解 由，解得，设是原方程的解，代入原