常数项数的审敛法..docVIP

§11( 2 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 正项级数( 各项都是正数或零的级数称为正项级数( 定理1 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界( 定理2(比较审敛法)设和都是正项级数( 且un(vn (n(1( 2( ( ( ( )( 若级数收敛( 则级数收敛( 反之( 若级数发散( 则级数发散( 定理2(比较审敛法) 设和都是正项级数( 且un(vn(k(0( (n(N)( 若收敛( 则收敛( 若发散( 则发散( 设(un和(vn都是正项级数( 且un(kvn(k(0( (n(N)( 若级数(vn收敛( 则级数(un收敛( 反之( 若级数(un发散( 则级数(vn发散( 证 设级数收敛于和(( 则级数的部分和 sn(u1(u2( ( ( ( (un(v1( v2( ( ( ( (vn(( (n(1, 2, ( ( ()( 即部分和数列{sn}有界( 由定理1知级数收敛( 反之( 设级数发散( 则级数必发散( 因为若级数 收敛( 由上已证明的结论( 将有级数也收敛( 与假设矛盾( 证 仅就un(vn (n(1( 2( ( ( ( )情形证明( 设级数(vn收敛( 其和为(( 则级数(un的部分和 sn(u1( u2( ( ( ( ( un(v1(v2( ( ( ( (vn(( (n(1, 2, ( ( ()( 即部分和数列{sn}有界( 因此级数(un收敛( 反之( 设级数(un发散( 则级数(vn必发散( 因为若级数 (vn收敛( 由上已证明的结论( 级数(un也收敛( 与假设矛盾( 推论 设和都是正项级数( 如果级数收敛( 且存在自然数N( 使当n(N时有un(kvn(k(0)成立( 则级数收敛( 如果级数发散( 且当n(N时有un(kvn(k(0)成立( 则级数发散( 例1 讨论p(级数 的收敛性( 其中常数p(0( 例1 讨论p(级数的收敛性( 解 设p(1( 这时( 而调和级数发散( 由比较审敛法知( 当p(1时级数发散( 设p(1( 此时有 (n(2, 3, ( ( ()( 对于级数( 其部分和 ( 因为( 所以级数收敛( 从而根据比较审敛法的推论1可知( 级数当p(1时收敛( 综上所述( p(级数当p(1时收敛( 当p(1时发散( 解 当p(1时( ( 而调和级数发散( 由比较审敛法知( 当p(1时级数发散( 当p(1时( (n(2, 3, ( ( ()( 而级数是收敛的( 根据比较审敛法的推论可知( 级数当p(1时收敛( 提示( 级数的部分和为 ( 因为( 所以级数收敛( p(级数的收敛性( p(级数当p(1时收敛( 当p(1时发散( 例2 证明级数是发散的( 证 因为( 而级数是发散的( 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的( 定理3(比较审敛法的极限形式) 设和都是正项级数( 如果(0(l((()( 则级数和级数同时收敛或同时发散( 定理3(比较审敛法的极限形式) 设和都是正项级数( (1)如果(0(l((()( 且级数收敛( 则级数收敛( (2)如果( 且级数发散( 则级数发散( 定理3(比较审敛法的极限形式) 设(un和(vn都是正项级数( (1)如果lim(un/vn)(l(0(l((()( 且(vn收敛( 则(un收敛( (2)如果lim(un/vn)(l(0(l((()( 且(vn发散( 则(un发散( 证明 由极限的定义可知( 对( 存在自然数N( 当n(N时( 有不等式 ( 即( 再根据比较审敛法的推论1( 即得所要证的结论( 例3 判别级数的收敛性( 解 因为( 而级数发散( 根据比较审敛法的极限形式( 级数发散( 例4 判别级数的收敛性( 解 因为( 而级数收敛( 根据比较审敛法的极限形式( 级数收敛( 定理4(比值审敛法( 达朗贝尔判别法) 若正项级数的后项与前项之比值的极限等于(( ( 则当((1时级数收敛( 当((1(或)时级数发散( 当( (1时级数可能收敛也可能发散( 定理4(比值审敛法( 达朗贝尔判别法) 若正项级数满足( 则当(