2018版高考数学大一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.2 综合法、分析法与反证法试题 理 北师大版.docVIP

第十三章 推理与证明、算法、复数 13.2 综合法、分析法与反证法试题 理 北师大版 1．综合法 (1)定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法． (2)框图表示：→→→…→(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)． 2．分析法 (1)定义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法． (2)框图表示：→→→…→. 3．反证法 我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法． 反证法的证题步骤是： (1)作出否定结论的假设； (2)进行推理，导出矛盾； (3)否定假设，肯定结论． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　×　) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　×　) (3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”．(　×　) (4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(　×　) (5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(　√　) (6)证明不等式＋＋最合适的方法是分析法．(　√　) 1．若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是(　　) A．ac2bc2 B．a2abb2 C. D. 答案　B 解析　a2－ab＝a(a－b)， ∵ab0，∴a－b0，∴a2－ab0，∴a2ab.① 又ab－b2＝b(a－b)0，∴abb2，② 由①②得a2abb2. 2．(2016·北京)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则(　　) A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 答案　B 解析　取两个球往盒子中放有4种情况： ①红＋红，则乙盒中红球数加1； ②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1； ③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1； ④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1. 因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多．③和④的情况完全随机，③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上选B. 3．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(　　) A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－≤0 C.－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0 答案　D 解析　a2＋b2－1－a2b2≤0(a2－1)(b2－1)≥0. 4．如果a＋ba＋b，则a、b应满足的条件是__________________________． 答案　a≥0，b≥0且a≠b 解析　∵a＋b－(a＋b)＝(a－b)＋(b－a) ＝(－)(a－b) ＝(－)2(＋)． ∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(－)2(＋)0. ∴a＋ba＋b成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b. 5．(2016·青岛模拟)如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f()，已知函数y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值为________． 答案　 解析　∵f(x)＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，且A、B、C∈(0，π)． ∴≤f()＝f()， 即sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝， ∴sin A＋sin B＋sin C的最大值为. 题型一　综合法的应用 例1　(2016·重庆模拟)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ac≤； (2)＋＋≥1. 证明　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac， 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， 由题设得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤. (2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即