2018版高考数学大一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.3 数学归纳法课件 理 北师大版.pptVIP

1.如果命题p(n)对n＝k(k∈N＋)成立，则它对n＝k＋2也成立.若p(n)对n＝2也成立，则下列结论正确的是 A.p(n)对所有正整数n都成立 B.p(n)对所有正偶数n都成立 C.p(n)对所有正奇数n都成立 D.p(n)对所有自然数n都成立 答案 解析 n＝2时，n＝k，n＝k＋2成立， n为2,4,6，…，故n为所有正偶数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 2.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是 A.假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1时命题成立 B.假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题成立 C.假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1时命题成立 D.假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题成立 答案 解析 相邻两个正奇数相差2，故D选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ A.若f(1)2成立，则f(10)11成立 B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立 C.若f(2)3成立，则f(1)≥2成立 D.若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立 3.(2017·淄博质检)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命题总成立的是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，说明如果当k＝n时，f(n)≥n＋1成立，那么当k＝n＋1时，f(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果当k＝4时，f(4)≥5成立，那么当k≥4时，f(k)≥k＋1也成立. 4.在数列{an}中，a1＝ ，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 即n＝1时结论成立. ②假设当n＝k时，结论成立，即2≤xkxk＋13. ①当n＝1时，x1＝2，f(x1)＝－3，Q1(2，－3). 所以直线PQ1的方程为y＝4x－11， 即xk＋1xk＋2， 所以2≤xk＋1xk＋23， 即当n＝k＋1时，结论成立. 由①②知对任意的正整数n,2≤xnxn＋13. 题型三　归纳—猜想—证明 命题点1　与函数有关的证明问题 解答 由x2x4x6，猜想：数列{x2n}是递减数列. 下面用数学归纳法证明： ①当n＝1时，已证命题成立. ②假设当n＝k时命题成立，即x2kx2k＋2， 易知xk0，那么 即x2(k＋1)x2(k＋1)＋2. 所以当n＝k＋1时命题也成立. 结合①②知，对于任何n∈N＋命题成立. 命题点2　与数列有关的证明问题 例4　在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N＋，λ0). (1)求a2，a3，a4； 解答 a2＝2λ＋λ2＋2(2－λ)＝λ2＋22， a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23， a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24. (2)猜想{an }的通项公式，并加以证明. 解答 由(1)可猜想数列通项公式为 an＝(n－1)λn＋2n. 下面用数学归纳法证明： ①当n＝1,2,3,4时，等式显然成立， ②假设当n＝k(k≥4，k∈N＋)时等式成立， 即ak＝(k－1)λk＋2k， 那么当n＝k＋1时， ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k ＝λ(k－1)λk＋λ2k＋λk＋1＋2k＋1－λ2k ＝(k－1)λk＋1＋λk＋1＋2k＋1 ＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1， 所以当n＝k＋1时，ak＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1，猜想成立. 由①②知数列的通项公式为an＝(n－1)λn＋2n(n∈N＋，λ0). 命题点3　存在性问题的证明 解答 (1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式； 从而{(an－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 下面用数学归纳法证明上式： 当n＝1时结论显然成立. 所以当n＝k＋1时结论成立. (2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2nca2n＋1对所有n∈N＋成立？证明你的结论. 解答 则an＋1＝f(an). 下面用数学归纳法证明加强命题： a2nca2n＋11. 假设n＝k时结论成立，即a2kca2k＋11. 再由f(x)在(－∞，1]上为减函数， 得c＝f(c)f(a2k＋2)f(a2)＝a31，故ca2k＋31. 易知f(x)在(－∞，1]上为减函数， 从而c＝f(c)f(a2k＋1)f(1