2018版高考数学大一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.3 数学归纳法试题 理 北师大版.docVIP

第十三章 推理与证明、算法、复数 13.3 数学归纳法试题 理 北师大版 数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)验证：当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时，命题成立； (2)在假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　×　) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　×　) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(　×　) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　×　) (5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　√　) (6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.(　√　) 1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ (a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1时，等式左边的项是(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 答案　C 解析　当n＝1时，n＋1＝2， ∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2. 2．(2016·黄山模拟)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2(＋＋…＋)时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证(　　) A．n＝k＋1时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立 C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 答案　B 解析　因为n为正偶数，n＝k时等式成立， 即n为第k个偶数时命题成立， 所以需假设n为下一个偶数，即n＝k＋2时等式成立． 3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 答案　C 解析　凸n边形边数最小时是三角形， 故第一步检验n＝3. 4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　) A．k2＋1 B．(k＋1)2 C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2 答案　D 解析　等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n2. 故n＝k＋1时，最后一项是(k＋1)2，而n＝k时，最后一项是k2，应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2. 5．(教材改编)已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N＋，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________. 答案　3　4　5　n＋1 题型一　用数学归纳法证明等式 例1　设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N＋)． 证明　①当n＝2时，左边＝f(1)＝1， 右边＝2(1＋－1)＝1， 左边＝右边，等式成立． ②假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，当n＝k＋1时， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k) ＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k ＝(k＋1)[f(k＋1)－]－k ＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当n＝k＋1时结论成立． 由①②可知当n∈N＋时，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1) ＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N＋)． 思维升华　用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立． (2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标． (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法． 　用数学归纳法证明： ＋＋…＋＝(n∈N＋)． 证明　①当n＝1时，左边＝＝， 右边＝＝， 左边＝右边，等式成立． ②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立． 即＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时， 左边＝＋＋…＋＋ ＝＋ ＝ ＝ ＝， 右边＝ ＝， 左边＝右边，等式成立． 即对所有n∈N＋，原式都成立． 题型二　用数学归纳法证明不等式 例2　(2016·烟台模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N＋，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b0且b≠1，b，r均为常数)的图像上． (1)求r的值； (2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N＋)，证明：对任意的