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高考复习指导讲义 第九章 直线 一、考纲要求 1.理解有向线段的概念.掌握有向线段定比分点坐标公式，熟悉运用两点间的距离公式和线 段的中点坐标公式. 2.理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的公式，熟练掌握直线方程的点斜式，掌 握直线方程的斜截式、两点式、截距式以及直线的一般式.能够根据条件求出直线的方程. 3.掌握两条直线平行与垂直的条件.能够根据直线的方程判定两条直线的位置关系.会求两条 直线的夹角和交点.掌握点到直线的距离公式. 二、知识结构 1.有向线段 一条有向线段的长度，连同表示它的方向的正负号，叫做有向线段的数量.有向线段 的数量用AB表示. 若有向线段在数轴上的坐标为A(x1)，B(x2)，则 它的数量 AB=x2-x1 它的长度 ｜AB｜=｜x2-x1｜ 平面上两点间的距离 设P1(x1,y1),P2(x2,y2)是坐标平面上的任意两点，则 它们的距离 ｜P1P2｜= 当P1P2⊥Ox轴时，｜P1P2｜=｜y2-y1｜；当P1P2⊥Oy轴时，｜P1P2｜ =｜x2-x1｜；点P(x,y)到原点O的距离，｜OP｜=. 三角形的中线长公式 如图，AO是△ABC的BC边上的中线.则｜AB｜2+｜AC｜2 =2［｜AO｜2+｜OC｜2］ 2.线段的定比分点 有向直线l上的一点P，把l上的有向线段分成两条有向线段分成两条有向线段，则和的数量之比 λ= 定比分点公式 若P1、P2两点坐标为(x,y1)，(x2,y2),点P(x,y)分有向线段成定比 λ=(λ≠-1)， 则P点坐标 x=， y=. (1).中点公式 设P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则P1P2的中点P(x,y)的坐标是 x=, y=. (2)三角形的重心公式 若△ABC的各顶点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则△ABC的重心G(x,y)的坐标是 x=， y=. 3.直线的方程 直线方程的几种形式 名称 已知条件 方程 说明 斜截式 斜率k 纵截距b y=kx+bx 不包括y轴和平行于y轴的直线 点斜式 点P1(x1,y1) 斜率k y-y1=k(x-x1) 不包括y轴和平行于y轴的直线 两点式 点P1(x1,y1) 和P2(x2,y2) = 不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线 截距式 横截距a 纵坐标b +=1 不包括坐标轴，平行于坐标轴和原点的直线 一般式 — Ax+By+C=0 A、B不同时为0 两条直线的位置关系 当直线不平行于坐标轴时： l1∶y=k1x+b1 l2∶y=k2x+b2 l1∶A1x+B1y+C1=0 l2∶A2x+B2y+C2=0 l1与l2组成的方程组 平行 k1=k2且b1≠b2 =≠ 无解 重合 k1=k2且b1=b2 == 有无数多解 相交 k1≠k2 = 有唯一解 垂直 k1·k2=-1 A1A2+B1B2=0 两条直线的交角公式 (1)直线l1到l2的角 直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1 到l2的角. 计算公式 设直线l1，l2的斜率分别是k1，k2，则 tgθ= (k1k2≠-1) (2)两条直线的夹角 一条直线到另一条直线的角小于直角的角，即两条直线所成的锐角叫 做两条直线所成的角，简称夹角.这时的计算公式为：tgθ= 4.点与直线的位置关系 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上的充要条件是 Ax0+By0+C=0. 点到直线的距离公式 点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离是 d= 据此可推出： (1)两平行线间的距离公式 两平行直线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0间的距离为 d=. 5.直线关于点的对称 直线关于点的对称直线一定是一条与已知直线平行的直线，由中点坐标公式可得 直线Ax+By+C=0关于点P(x0,y0)的对称直线方程是 A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0 即 Ax+By-(2Ax0+2By0+C)=0. “直线关于直线”对称 (1)几种特殊位置的对称 已知曲线f(x,y)=0，则它： ①关于x轴对称的曲线是f(x,-y)=0； ②关于y轴对称的曲线是f(-x,y)=0； ③关于原点对称的曲线是f(-x,-y)=0； ④关于直线y=x对称的曲线f(y,x)=0； ⑤关于直线线y=-x对称的曲线 f(-y,-x)=0； ⑥关于直线x=a对称的曲线是 f(2a-x,y)=0； ⑦关于直线y=b对称的曲线是 f(x,2b-y)=0 三、知识点、能力点提示 (一)有向线段、两点间距离、线段的定比分点 例1 在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(-4，