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第15讲 时变电磁场（3） 本节内容： 复坡印廷定理 时变电磁场的唯一性定理 时变电磁场的波动性 时变电磁场的位函数 复坡印廷定理 坡印廷定理： 由焦耳定律，单位体积内的损耗功率为，右边第二项为体积V内的损耗功率。左边为电磁能量的减少率。 体积V内电磁能量的有两种原因：一是损耗掉而转化为其它形式的能量，另一是转移到V之外。 式中第一项代表的是通过S流出体积V的功率。若媒质为无耗的（），则，此时，V内功率的减少就等于流出V的表面S的功率。 另外，引如一个新矢量---坡印廷矢量 的方向为能量流动的方向，大小为垂直流过单位面积的功率。空间只要有电场和磁场同时存在，就会有能量流通。 坡印廷矢量的复数表示形式： 复坡印廷矢量： 称为复坡印廷矢量，它与时间无关，表示复功率流密度，其实部为平均功率流密度(有功功率流密度)，虚部为无功功率流密度。 它在一个周期T=2π/ω内的平均值为 下面研究复坡印廷定理： 由矢量恒等式可知： 整理可得： 对其两端取体积分, 便得到相应的积分形式: 这就是用复矢量表达的坡印廷定理, 称为复坡印廷定理。 分别取其实部和虚部, 得 代表单位体积中电磁场储能的最大时间变化率。 说明如下： 设 则单位体积内,电场磁场储能瞬时值为： 其一周期内平均值为： 单位体积电、磁场储能瞬时值为 由于储能是电磁场的无功功率部分, 其磁场与电场的相位将是正交的, 即 ， 因此该时间变化率的最大值为 由此可见，流进 S 内的复能流密度矢量通量的实部等于 S 内消耗的功率，虚部表示能量交换。 [例] 已知矩形波导中主模的电磁场为： 求通过矩形波导横截面的平均功率。 解： ∴ ∴ 二，时变电磁场的唯一性定理 对于t0的所有时刻，由曲面S所围成的闭区域V内的电磁场是由V内的电磁场E，H在t＝0时刻的初始值，以及时刻边界面S的切向电场或者切向磁场所唯一确定。 证明仍然采用反证法。略 三， 时变电磁场的波动性 麦克斯韦第一方程和第二方程说明，变化的电场激发磁场，变化的磁场激发电场。一旦交变的场源在空间激发起电磁场，由于电场和磁场的相互激发，即使场源消失，电磁场仍可独立地存在，并由近及远地向外传播，从而形成电磁波。任何波动都满足一个共同的规律——波动方程。下面从麦克斯韦方程出发导出电磁场的波动方程。 1，波动方程 若媒质是不导电的，在无源区域： （5.7-1） （5.7-2） （5.7-3） （5.7-4） （5.7-1）： 将（5.7-2）代入： 而： 又考虑到（5.7-3）： ——的波动方程 （5.7-5） 同理可得： ——的波动方程 （5.7-6） 对于简谐场，由复数形式的麦克斯韦方程可导出复数形式的波动方程： 其中 ——波数 若媒质是导电的，将存在传导电流，则麦克斯韦第一方程复数形式为： 其中： ——媒质的复介电常数 此时波动方程为： ——复波数 2，波动方程解的性质 由（5.7-5）、（5.7-6），或的任一分量的方程为： 通过一简单情况分析其解的性质： 设只是x和t的函数，则： （5.7-7） 在无界空间，其达朗贝尔解为： 先看： 可见，时刻x处的波形在时刻将出现在处，在内，整个波形向方向移动了，所以表示一个以速度v向+x方向传播的波；同样，表示一个以速度v向-x方向传播的波。所以，无界空间波动方程的解是沿+x方向和-x方向传播的两个波的迭加。 真空中 m/s。 四，时变电磁场的位函数 由麦克斯韦方程可得到： 有源区域的非其次波动方程 直接求解比较麻烦，如图静态场引入位函数。 因为，根据矢量恒等式，可以令 代入麦克斯韦方程的第二方程可得： 根据矢量恒等式，可以令 则 A称为矢量位，单位为Wb/m(韦伯/米)；φ称为标量位，单位为V(伏)。 但是满足上述式子的和不是唯一的，例如： 因此必须唯一的确定，必须知道的散度值。 有前面可以得到： 及 如果适当地选择▽·A的值，就可以使这两个方程进一步简化为分别只含有一个位函数的方程。为此我