差分法在数列中的应用_283416.docVIP

差分法在数列中的应用 自变量取值为正整数的函数称为离散函数，称函数为函数的一阶差分，为函数的二阶差分.例如，等差数列的通项是前项和的一阶差分，公差是前项和的二阶差分.本文举例说明差分法在解决与前项和有关的数学证明、求数列通项和最值项等问题. 用差分法证明有关数列问题 例1.我们知道：若数列是等差数列，则其前项和；反之，若数列的前项和，判断数列是否为等差数列？若是，请证明；若不是，说明理由. 用差分法求通项公式 例2.数列的前项和为，且，求 例3.数列满足： 例4.各项均为正数的数列的前项和为，且，数列是公差为的等差数列，求数列的通项公式（用表示）. 用差分求数列的最值 例5.设数列的前项和为，若对于任意，，且成立. （1）求的值； （2）求证：数列是等差数列，并写出其通项公式； （3）令，若对一切整数，总有，求的取值范围. 例6.已知数列满足：. （1）李四同学欲求的通项公式，他想：如能找到一个函数（为常数），把递推关系变成后，就容易求出的通项公式.请问：他设想的存在吗？的通项公式是什么？ （2）记，若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围. 答案与解析： 例1.解：由得： ①， 由①得：， ② ①-②得：， ③ 【一阶差分】 由③得：， ③ ②-③得：， 【二阶差分】 ∴数列为等差数列 例2.解：由①得：， ② ①-②得：， 由得：，则 ∴ 例3.解：由 ①得： ② ①-②得： 检验：，适合上式，即 ③ 由③得： ④ ③-④得： ， 检验，，不适合上式，所以 例4.解：由题意：，平方得： ① 由①得：， ② ①-②得：， ∵，则 化简得：，即 ∴ 例5.（1）（略解） （2）由得 ① 由①得：， ② ①-②得，即， 即，，则， ③ 由③得：， ④ ③-④得，，即，成立. ∵适合上式，∴， ∴数列是以为公差的等差数列，即 （3）由（2）得， 由题意： 令，即 化简得：，解得： ∴，故，即 例6.