2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第53讲圆锥曲线(二.doc

第53讲 圆锥曲线(二) 1．焦半径公式 设P为圆锥曲线上任一点，r、d分别为点P到焦点及相应准线的距离，则r＝ed． (1)对于椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F1(－c，0)、F2(c，0)是它的两个焦点．设P(x，y)是椭圆上的任一点，则有r1＝|PF1|＝a＋ex，r2＝|PF2|＝a－ex． 由椭圆的焦半径公式可知，椭圆上的某一点的焦半径的长是这一点的横坐标(对 eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1是纵坐标)的一次函数． 焦半径公式的另一种形式(对于 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1，a＞b＞0)为r1＝|PF1|＝ eq \f(b2,a－ccosθ)(θ是以F1x为始边，F1P为终边的角，不是F1P的倾斜角)． (2)对于双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，F1(－c，0)、F2(c，0)是它的两个焦点．设P(x，y)是双曲线上的任一点，若点P在双曲线的右支上，则有r1＝|PF1|＝ex＋a，r2＝|PF2|＝ex－a；若点P在双曲线的左支上，则有r1＝|PF1|＝－ex－a，r2＝|PF2|＝－ex＋a． 焦半径公式的另一种形式(对于 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1，a＞0，b＞0)为r2＝|PF2|＝| eq \f(b2,a－ccosθ)|(θ是以F2x为始边，F2P为终边的角，不是F2P的倾斜角)． 注意：当 eq \f(b2,a－ccosθ)＞0时，点P在右支上，当 eq \f(b2,a－ccosθ)＜0时，点P在左支上． (3)对于抛物线y2＝2px(p＞0)，F( eq \f(p,2)，0)是它的焦点，设P(x，y)是抛物线上的任一点，则r＝|PF|＝x＋ eq \f(p,2)．设∠xFP＝θ，则r＝ eq \f(p,1－cos?) ． 2．共轭直径 二次曲线平行弦的中点轨迹称为它的直径．若两直径中的每一直径平分与另一直径平行的弦，则称此两直径为共轭直径． (1)设椭圆的方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，互为共轭直径的斜率关系为kk?＝－ eq \f(b2,a2)； (2)设双曲线的方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，互为共轭直径的斜率关系为kk?＝ eq \f(b2,a2)； (3)设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，一组斜率为k的平行弦的中点轨迹为射线y＝ eq \f(p,k)． 3．过焦点的弦 (1)设椭圆的方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，过F1(－c，0)的弦长为2a＋e(x1＋x2)，过F2(c，0)的弦长为2a－e(x1＋x2)．过焦点的弦长是一个仅与它的中点横坐标有关的数． 焦点弦长的另一种形式为l＝ eq \f(2ab2,a2－c2cos2?)．(θ是以F1x为始边，F1P为终边的角，不是F1P的倾斜角)． (2)设双曲线的方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，过F1(－c，0)的弦长为|2a＋e(x1＋x2)|，过F2(c，0)的弦长为|2a－e(x1＋x2)|． 焦点弦长的另一种形式为l＝| eq \f(2ab2,a2－c2cos2?) |(θ是以F2x为始边，F2P为终边的角，不是F2P的倾斜角)． (3)设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，F( eq \f(p,2)，0)，设∠xFP＝θ，则焦点弦长为l＝ eq \f(2p,sin2?) ． 4．双曲线的渐近线 (1)如果曲线上的点无限远离原点时，存在一条直线l，使得P与此直线的距离无限趋向于零，则这条直线称为曲线C的一条渐近线． 双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝0． (2)共轭双曲线的方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝±1，共渐近线的双曲线系方程： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝λ． 互为共轭的两条双曲线有以下性质： ①λ＞0时得焦点在x轴上的双曲线；λ＜0时得焦点在y轴上的双曲线；λ＝0时即是双曲线的渐近线； ②两共轭的双曲线的离心率e1，e2满足 eq \f(1,e12)＋ eq \f(1,e22)＝1； ③它们的四个焦点在同一个圆上． A类例题 例1．设A(x1，y1)为椭圆x2＋2y2＝2上的一点，过点A作一条斜率为－ eq \f(x,2y1)的直线l，又设d为原点到直线l的距离，r1，r2分别为点A到椭圆两