2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第52讲圆锥曲线(一.doc

第52讲 圆锥曲线(一) 常见二次曲线有圆、椭圆、双曲线、抛物线等，前面已经研究过圆，本讲将对竞赛中常见的有关椭圆、双曲线、抛物线等问题作一些研究． 1．各曲线的定义 (1)椭圆：{P| |PF1|＋|PF2|＝2a，2a＞|F1F2|，F1、F2为定点， (2)双曲线：{P| ||PF1|－|PF2||＝2a，2a＜|F1F2|，F1、F2为定点， (3)抛物线：{P| eq \f(|PF|,|PH|)＝1，F为定点，|PH|是P到定直线l的距离}． 圆锥曲线的统一定义：平面上，到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离之比为一个常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)． 当0＜e＜1时，曲线是椭圆；当e＞1时，曲线是双曲线；当e＝1时，曲线是抛物线．这个定点F叫做曲线的焦点，定直线l叫做曲线的准线，定点F到定直线的距离p叫做焦参数． 2．标准方程 (1)椭圆： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)， eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)； (2)双曲线： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1， eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)； (3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0)． 3．几何性质：(见教材) 4．直线与椭圆、双曲线、抛物线间关系的判别方法 判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的关系的方法主要有两种：一种是由它们的方程消去一个未知数(如y)，得到另一个未知数(如x)的一元二次方程，利用其根的判别式Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0可分别判断直线与椭圆、双曲线、抛物线有两个不同的公共点、只有一个公共点、没有公共点． 对于双曲线、抛物线还要特别注意二次项系数是否为零的讨论． 另一种是取椭圆、双曲线的参数方程，再转化为三角方程是否有解的问题． A类例题 例1．椭圆 eq \f(x2,12)＋ eq \f(y2,3)＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（ ） A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍(1998年全国高考题) 分析 本题涉及到椭圆的几何性质、焦半径长，中点坐标公式等，也可以用椭圆的第二定义来求解． 解 由已知得F1、F2的坐标分别为(－3，0)、(3，0)． 设P(x，y)，线段PF1的中点的横坐标为0，那么 eq \f(x1－3,2)＝0，x1＝3． 将x1＝3代入椭圆方程得，y1＝± eq \f( eq \r(3),2)，所以P(3，± eq \f( eq \r(3),2))，则|PF2|＝|y1|＝ eq \f( eq \r(3),2)． 因为|PF1|＋|PF2|＝4 eq \r(3)，则|PF1|＝ eq \f(7 eq \r(3),2)，故|PF1|＝7|PF2|． 说明 本题也可以用焦半径公式求解，与焦半径有关的内容详见圆锥曲线(二)． 例2．设双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a，0)、(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为 eq \f( eq \r(3),4)c，则双曲线的离心率为( ) A．2 B． eq \r(3) C． eq \r(2) D． eq \f(2 eq \r(3),3)(1996年全国高考题) 解 法一 因为b＞a＞0，所以c2＝a2＋b2＞2a2，c＞ eq \r(2)a， 则离心率e＝ eq \f(c,a)＞ eq \r(2)＞ eq \f(2 eq \r(3),3)，故排除选项C、D． 因为直线l过点(a，0)、(0，b)，原点到直线l的距离为 eq \f( eq \r(3),4)c，则 eq \f( eq \r(3),4)c2＝ab，检验A、B分支，选A． 法二 因为直线l过点(a，0)、(0，b)，则l的方程为bx＋ay－ab＝0，所以原点到直线l的距离为 eq \f(|－ab|, eq \r(a2＋b2))＝ eq \f( eq \r(3),4)c，因为c2＝a2＋b2(b＞a＞0)，所以 eq \f(ab,c)＝ eq \f( eq \r(3),4)c，整理得，3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝ eq \f(4,3)． 因为b＞a＞0，所以c2＝a2＋b2＞2a2，所以e2＝ eq \f(c2,a2)＞2，故e2＝4，即e＝2，故选A． 例3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过动点M(a，0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p． (1)求a的取