D10-习题课管院二重积分2016033122综述.pptVIP

习题课 一、重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 2.二重积分的对称性 5. 7. 计算二重积分 例1. 计算二重积分 (2) 提示: 例2. P186 5. 例1. 计算二重积分 (2) 积分域如图: 例6. 例1. 交换积分顺序计算 7. 计算二重积分 将D 分为 添加辅助线 利用对称性 , 得 1. 设区域D 为 则 解: 证明 证:左端 = 右端 = 为利用极坐标计算，先把曲线方程化为极坐标下的形式 例7 求 ，其中 解 由对称性，得 ． 联立上述方程，解得 ， 解 由对称性，得 例6 求 ，其中 因此，有 解 由极坐标计算公式，得 例5 求 ，其中 解 由对称性，得 例4 求 ， 其中 ． 例2 求 ，其中 由 ， ， 所围成． 解 根据被积函数的特点，采用先 后 的积分次序 例3 求 ，其中 解 根据积分区域的对称性，得 ． 记 在第一象限部分的图形为 ，则 例1 交换下列积分次序 解 根据积分区域的图形，得 二、例题选讲 ⑴ 解 根据积分区域的图形，得 ⑵ 解 根据积分区域的图形，得 ⑶ ⑷ 解 积分区域如图所示，用 将区域划分成三个 型区域 ，则 解： 积分域如图. 一般步骤为： 根据所给二次积分， 将D表示为不等式，画出积分域 ，将 D 用新的不等式表示，写出新的二次积分 其中D 是由曲 所围成的平面域 . 解: 其形心坐标为: 面积为: 积分区域 线 形心坐标 解： 由对称性，有 原式 2. * 目录 上页 下页 返回 结束 一、 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用 第十章 二重积分 定 义 几何意义 性 质 计算法 二重积分 内容回顾 直角坐标下的计算 极坐标下的计算 (1)体积 (2)面积 应用 若D为 X - 型区域 则 若D为Y - 型区域 则 1)二重积分在直角坐标下的计算公式 设 则 特别, 对 2)极坐标下计算二重积分 利用极坐标计算二重积分的步骤 考虑是否用极坐标计算 化为极坐标系下 二重积分 积分次序： 定限方法： 化为累次积分 计算累次积分 注意 对一个变量积分时，将另一个变量视为常数 D为圆或圆的一部分 f(x,y)中含有 或 三变、一勿忘 积分区域 D 极坐标表示 被积函数 面积元素 一个勿忘 一般先r后θ 旋转、发射 被积函数呈 常用极坐标 其它以直角坐标为宜 积分区域为圆形、扇形、圆环形， 积分次序一般是 过极点O作任一极角为 的射线 从D的边界曲线 穿入 穿出. 极坐标系下勿忘r. 则 则 口诀：后积先定限,限内画条线 ,先交为下限，后交为上限. (1) 画出D的草图. X-型:先对y积分时,是纵向的由下而上,积分限是上下曲线　 (3)由D的草图定出积分限(关键)，下限小于等于上限. 积分限可用穿线法确定. 无论直角坐标系还是极坐标系,所以变量都是由小到大. (2)选择积分次序. (3)由D的草图定出积分限(关键)， (4)写出二次积分. 边界曲线要表示成x的函数. Y-型:先对x积分时,是横向的由左而右,积分限是左右曲线　 边界曲线要表示成y的函数. θ-型:先对r积分时,是放射型的由近到远. 边界曲线要表示成θ的函数. 1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序 积分域分