常微分第一章总结.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 求微分方程满足初始条件解的问题，称为初值问题（IVP）或Cauchy 问题。 满足初始条件的解称为微分方程的特解。 求微分方程满足边值条件解的问题，称为边值问题（BVP）。 求微分方程满足定解条件的解，就是所谓 定解问题。 * 的解 就是一阶方程 就是满足初始条件当 时， 的特解。 的通解； 例如，在§1.1的例2中，含有一个任意常数 C 而 满足初始条件的解称为微分方程的特解。 * 阶微分方程的初值问题可表示为 一阶微分方程的初值问题可表示为 或 * * * （1）求出它的通解； （2）求通过点（1，4）的特解。 例2 给定一阶微分方程 解： C为任意常数。 （2）将x=1, y=4 代入（1），得C=2， 所以所求特解为 * （6）积分曲线和方向场 微分方程（2）的通解 一阶微分方程 （2） 的解 称之为微分方程（２）的积分曲线。 满足初始条件 的特解就是通过点 的一条积分曲线。 称之为微分方程（２）的积分曲线族。 * * 方程 的切线斜率 上 恰好等于函数 在这点的值； 函数 反之,如果在一条曲线每点上其切线斜率刚好等于 的值，则这一条曲线就是方程 在这点的值，则这条曲线就是方程 积分曲线与 的关系 的积分曲线。 的积分曲线的每一点 * 设函数 的定义域为D。在每一点 处画上一个小线段,其斜率等于 这种直线段的区域为由方程 方向场（微分方程的几何解释） 则称带有 所定义的方向场或称向量场。 (2) * 在D内求一条经过 点处切线的斜率都与方向场在该点的方向 的曲线使其上每一 注： 的曲线，就是 相吻合。 求微分方程（2）经过点 积分曲线与方向场的关系 * 在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线。 其中 是参数。 微分方程（2）的等斜线方程为 * 在所有 (t,?0) 及 (0,?x) 点处 ， 例 试画出 的近似积分曲线。 在(1,?x)点处 ， 微分方程 的等斜线方程为 * * Figure0.1 * Summary Chapter 1. Introduction to Differential Equations 偏微分方程 (PDE). 1. 微分方程 （ii）微分方程的阶数。 2. 分类 n 阶常微分方程的一般形式 （i）常微分方程（ODE） * 线性微分方程； （iii） n 阶线性微分方程的一般形式 非线性方程. * 3. 解 a. 显式解 b. 隐式解 c. 通解 d. 特解 4. 初始条件，初值问题 5. 方向场，积分曲线 * 作业：P28 习题 1.2 8（2），（4），（6） * * * * * * * * * * * * * * 例3（几何问题）:求平面上过点(1,3)且每点切线斜率 为横坐标2倍的曲线方程. 解:设所求的曲线方程为 由导数的几何意义, 应有 又由条件: 曲线过(1,3), 即 于是得 故所求的曲线方程为: * 例4 Lorenz 方程 其中a, c, b为变化区域有一定限制的实参数。 该方程形式简单，表面上看并无惊人之处， 但由该方程揭示出的许多现象，促使混沌“ 成为数学研究的崭新领域，在实际应用中也 产生了巨大的影响。 * Lorenz（1960）研究“长期天气预报”问题时发现， 当这个方程组的参数取某些值的时候，轨线运动 会变的复杂和不确定，具有对初始条件的敏感依赖 性，也就是初始条件最微小的差异都会导致轨线 的行为的无法预测。根据数值分析，Lorenz得出 结论说天气的长期预报是不可能的，形象化的说法 就是所谓的蝴蝶效应。他说“巴西境内的一只蝴蝶 扇动翅膀，可能引起德克萨斯州的一场龙卷风” 把混沌这个术语引入的是美国的数学教授约克和 他的学生李天岩。 * 1961年美国气象学家洛伦兹利用他的一台老爷计算机，根据他导出的描述气象演变的非线性动力学方程进行长期气象预报的模拟数值计算，探讨准确进行长期天气预报的可能性。 有一次，洛伦兹为了检验上一次的计算结果，决定再算一遍。但他不是从上一次计算时的最初输入的数据开始验算，而是以一个中间结果作为验算的输入数据。他发现，经过一段重复过程后，计算开始偏离上次的结果，甚至大相径庭。就好比一个计算结果预报几个月后的某天是晴空万里，另一个计算结果则告诉你这一天将电闪雷鸣！ * 后来洛伦兹发现两次计算的差别只是第二次输入中间数据时将原来的0.50