单纯形法部分.pptVIP

1－3 单纯形法 图解法的局限性？ 1947年G.B.Dantzig提出的单纯形法提供了方便、有效的通用算法求解线性规划。 一、单纯形法的基本思想1、顶点的逐步转移 即从可行域的一个顶点（基本可行解）开始，转移到另一个顶点（另一个基本可行解）的迭代过程，转移的条件是使目标函数值得到改善（逐步变优），当目标函数达到最优值时，问题也就得到了最优解。 * * 根据线性规划问题的可行域是凸多边形或凸多面体，一个线性规划问题有最优解，就一定可以在可行域的顶点上找到。 于是，若某线性规划只有唯一的一个最优解，这个最优解所对应的点一定是可行域的一个顶点；若该线性规划有多个最优解，那么肯定在可行域的顶点中可以找到至少一个最优解。 顶点转移的依据？ 转移条件？ 转移结果？ 使目标函数值得到改善 得到LP最优解，目标函数达到最优值 （单纯形法的由来？ ） 2．需要解决的问题： (1)为了使目标函数逐步变优，怎麽转移？ (2)目标函数何时达到最优—— 判断标准是什麽？ 二、单纯形法原理（用代数方法求解LP） 例1-6 第一步：引入非负的松弛变量x4,x5, 将该LP化为标准型 第二步：寻求初始可行基，确定基变量 对应的基变量是 x4，x5； 第三步：写出初始基本可行解和相应的目标函数值 两个关键的基本表达式： ①用非基变量表示基变量的表达式 ②用非基变量表示目标函数的11111表达式 请解释结果的经济含义 —— 不生产任何产品，资源全部节余（x4=3，x5=9），三种产品的总利润为0！ 第四步：分析两个基本表达式，看看目标函数是否可以改善？ ① 分析用非基变量表示目标函数的表达式 非基变量前面的系数均为正数，所以任何一个非基变量进基都能使Z值增加 通常把非基变量前面的系数叫“检验数”； ② 选哪一个非基变量进基？ 选x1为进基变量（换入变量） 问题：能否选其他的非基变量进基？ ? 任意一个 ? 任意一个正检验数对应的非基变量 ? 最大正检验数对应的非基变量 ? 排在最前面的正检验数对应的非基变量 × ? ? ? ③ 确定出基变量： 问题讨论 ? x1进基意味着其取值从0变成一个正数（经济意义——生产A产品），能否无限增大？ ? 当x1增加时，x4，x5如何变化？ ? 现在的非基变量是哪些？ ? 具体如何确定换出变量？ 由用非基变量表示基变量的表达式 当x1增加时，x4，x5会减小，但有限度——必须大于等于0，以保持解的可行性！于是 当x1的值从0增加到3时，x4首先变为0，此时x5=60 因此选x4为出基变量（换出变量）。 这种用来确定出基变量的规则称为 “最小比值原则”（或θ原则）。 如果P1≤0，会出现什麽问题？ 最小比值原则会失效！ ? 基变换 新的基变量——x1,x5；新的非基变量x2,x3,x4； 写出用非基变量表示基变量的表达式： 可得新的基本可行解 X（1）=（3，0，0，0，6）T 由 → ⑤ 写出用非基变量表示目标函数的表达式: 可得相应的目标函数值为Z（1）=6 检验数仍有正的 返回①进行讨论。 第五步：上述过程何时停止？ 当用非基变量表示目标函数的表达式中，非基变量的系数（检验数）全部非正时，当前的基本可行解就是最优解! 为什麽？ ——分析用非基变量表示目标函数的表达式，如果让负检验数所对应的变量进基，目标函数值将下降！ *