江苏省2015年高三数学一校四题卷金沙中学.docVIP

金沙中学 李健 1．已知在上是增函数}，方程有实数解}，设，且定义在R上的奇函数在内没有最小值，则的取值范围是. 解：．又，，．由为R上的奇函数，且m0，且m0．，x．因，则在上单调递增，在上单调递减，．．．已知圆O：，O为坐标原点． （1）边长为的正方形ABCD的顶点A、B均在圆O上，C、D在圆O外，当点A在圆O上运动时，C点的轨迹为E． （ⅰ）求轨迹E的方程； （ⅱ）过轨迹E上一定点作相互垂直的两条直线，并且使它们分别与圆O、轨迹E 相交，设被圆O截得的弦长为，设被轨迹E截得的弦长为，求的最大值．（2）正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，求线段OC长度的最值． 解：（1）（ⅰ）连结OB，OA，因为OA=OB=1，AB=，所以， 所以，所以，在中，， 所以轨迹E是以O为圆心，为半径的圆，所以轨迹E的方程为； （ⅱ）设点O到直线的距离分别为，因为，所以， 则，则 ≤4=， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最大值为； （2）设正方形边长为a，，则，． 当A、B、C、D按顺时针方向时，如图所示，在中， ，即 ， 由，此时； 当A、B、C、D按逆时针方向时，在中， ，即 ， 由，此时， 综上所述，线段OC长度的最小值为，最大值为． ．的图像如图所示，数列的前项的和，为数列的前项的和，且. （1）求数列、的通项公式； （2）找出所有满足：的自然数的值（不必证明）； （3）若不等式对于任意的，恒成立，求实数 的最小值，并求出此时相应的的值. 解：（1）由题意得：，解之得:,当时，；当时，符合上式，故，.当时， 当时，不符合上式，故. （2）当时，，且，不合 当时，由题意可得： 而方程只有满足条件，故当时，. （3）由题得：，对于一切，恒成立 即 令（，） 则， 当时，；当时， 而，， 故当时，的最小值为46. 4．已知函数． （Ⅰ）求函数的极大值； （Ⅱ）若对满足的任意实数恒成立，求实数的取值范围（这里是自然对数的底数）； （Ⅲ）求证：对任意正数、、、，恒有． （Ⅰ） ∴的增区间为，减区间为和．极大值为． （Ⅱ）原不等式可化为由（Ⅰ）知，时，的最大值为． ∴的最大值为，由恒成立的意义知道，从而 （Ⅲ）设 则． ∴当时，，故在上是减函数， 又当、、、是正实数时， ∴． 由的单调性有：， 即． O D C B A y x 1 1 x O D B A 1 1 C y x O D B A 1 1 C y y x O 1 -1