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设曲线弧的极坐标方程为 弧长为 3. 极坐标情形 其中 在 上具有连续导数. 由直角坐标与极坐标的关系可得 解 解 定积分有着广泛的用途, 先介绍建立定积分的一种简便方法-- 元素法(微元法) 下面介绍它在几何, 物理和经济等问题上的简单应用. 什么量可以用定积分表示出来? 6.1 定积分在几何上的应用 (1) U是与一个变量x 的变化区间[a, b]有关的量; 则可以考虑用定积分来表达这个量U. (2) U对于区间[a, b]具有可加性. 就是说, 如果把区间[a, b]分成许多部分区间, (3) 部分量 的近似值可表示为 当所求量U 符合下列条件： 则U 相应地分成许多部分量, 而U 等于所有部 分量之和. 元素法的一般步骤： 这个方法通常称为元素法(微元法). (1) 根据问题的具体情况, 选取一个变量例如 x (2) 任取一小区间并记为 求出相应于这小区间的部分量 的近似值dU, 并将其表示为 (3) 以所求量U 的元素 为被积表达式， 在区间[a, b]上作定积分, 得 即为所求量U 的积分表达式. 为积分变量, 并确定它的变化区间[a, b]; 这个小区间上所 对应的小曲边梯形面积 面积元素 得 曲边梯形面积的积分式也可以用元素法 建立如下. 地等于长为f(x)、宽为dx 的 小矩形面积, 故有 近似 求这两条曲线 及直线 所围成的区域的面积 A. 它对应的面积元素dA为 即 1. 直角坐标系下平面图形的面积 6.1.1 平面图形的面积 在[a, b]上任取一区间 求由曲线 和直线 所围成的区域的面积 A. 的面积元素dA为 它对应 小区间 解 两曲线的交点 选 x 为积分变量 例 计算由两条抛物线 和 所围成 的图形的面积. 面积元素 例 解 画草图, 求两曲线交点的坐标以便 解方程组: 交点 面积元素 选 为积分变量, 确定积分限, 解 两曲线的交点 选 y 为积分变量 例 计算由曲线 和直线 的图形的面积. 所围成 所求面积 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 2. 参数方程情形下求平面图形的面积 在 (或 )上 与终点的参数值. 设 和 对应曲线起点 具有连续导数, 连续. 解1 曲线的参数方程为 由对称性, 总面积等于4倍第一象限部分面积. 作变量代换, 例 求椭圆 的面积. 解2 其中 由对称性,总面积等于4倍第一象限部分面积． 例 求椭圆 的面积. 解 面积 作变量代换 面积元素 曲边扇形的面积 由极坐标方程 给出的平面曲线和射线 所围成的面积A. 曲边扇形 3. 极坐标系下求平面图形的面积 解 由对称性知总面积 =4倍第一象限部分面积 例 求双纽线 所围平面图形的面积. 解 利用对称性知 例 求心形线 图形的面积. 所围平面 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条 圆柱 圆锥 圆台 6.1.2 体积问题 1. 旋转体的体积 直线旋转一周而成的立体. 这直线称为旋转轴． 旋转体的体积为 如果旋转体是由连续曲线 直线 及 x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋 x转一周而成的立体, 求体积. 取积分变量为x, 为底的 小曲边梯形绕 x 轴旋转而 成的薄片的 体积元素 解 例 求由椭圆 围成的图形绕 x轴旋 这个旋转椭球体可以看成是由上半椭圆 转一周所得旋转体的体积. 与x 围成的图形绕 x轴旋旋转而成. 所求体积为 解 体积元素 例 取积分变量为x, o x y 如果旋转体是由连续曲线 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴 旋转一周而成的立体, 求体积. 直线 体积元素 旋转体的体积 解 两曲线的交点为 绕 y 轴旋转所得体积 y 轴旋转所得旋转体的体积. 例 求抛物线 所围成图形绕 补充 利用这个公式，可知上例中 公式见P257 24 解 体积元素为 2. 已知平行截面面积的立体的体积 立体体积 A(x)表示过点x且 垂直于x 轴的截面面积， A(x) 为x 的已知连续函数. 如果一个立体介于过 而垂直于x 轴的两平面之间， 体积元素 解 取坐标系如图 底圆方程 例 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角 计算这平面截圆柱体所得 立体的体积. 垂直于x轴的截面为直角三角形. 底边 高