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第八章 能带Ⅱ §1.运动方程 1．准经典近似 点阵的周期势场是在点阵常数的范围内变化，这样的势场只能用量子力学来处理，因为它是一个微观场，但对于外加的宏观的电磁场，在波包范围内基本是恒定的，因此对于宏观场而言，可把波包的运动看作经典粒子的运动，而采用经典力学的方法来处理。这就是准经典近似方法（或称半经典极限，之所以称“ 半”是因为对周期场处理仍按量子力学的方法解决）。 2.运动方程主要考虑Bloch电子在外加电磁场下的运动规律。 Bloch电子的速度是Bloch波包的群速度 三维时：  若外加电场为 ，则外场对Bloch电子要作功，在 t时间内，电子的能量增加为： 又∵  (即电子能量的变化引起的波矢变化为 k) 又 比较 则  若 足够小，则有：三维时：上式表明了电子在波矢空间的运动规律。从式中可看到：电子晶体动量的变化率仅决定于外力，而与周期势场无关。  （真实空间中的运动规律） （波矢空间中的运动规律） 考虑Bloch电子在外加磁场 下运动规律：    Bloch电子的 函数的形式与自由电子不同（自由电子等能面是球面）。但在能带的极值附近，可以近似展开成球面。一般说来 决定于等能面的形状，而等能面的梯度决定了电子在波矢空间的速度：  从上式可看出在外加磁场下，Bloch电子在波矢空间的运动规律： 垂直于电子等能面的梯度。因此波矢 在电子的等能面上运动。 即在外加磁场 下电子的能量是不变的。 同时， 又垂直于 ，说明在波矢空间的运动方向与磁场方向是垂直的。 在与 垂直的平面上运动。 电子既要在等能面上运动，又要在垂直于 的平面上运动， 则只能沿这两个面的交线运动。 §2.空穴电子从一个能带跃迁到上一个能带中去，在原能带中留下一个空轨道，这个空轨道称为空穴，空穴是一个几乎充满的能带中的空轨道，它是在波矢空间的能带中的概念，不是真实空间中失去电子后的空位，也不是原子离开原位置后留下的空位缺陷，在外加电磁场下，空穴的行为犹如一个带电量为+e的粒子。 1.空穴的性质〈1〉空穴的波矢是失去的哪个电子波矢的负值，既一个能带若失去了一个空轨道，称为空穴，空穴的波矢  空穴是描述失去了电子的能带的简捷方法，一个充满的能带失去了电子就产生了空轨道，空轨道的性质是与失去电子的能带中的集体行为联系在一起的（即拿一个电子，剩下2N-1个电子），也就是说失去了一个电子的能带既可以用2N-1个电子的集体行为来描写，也可以用一个空穴来描写，空穴的行为是与2N-1个电子的集体行为联系在一起的。空穴是假象的粒子，是准离子，主要是为了处理问题方便而引入的，空穴的性质由几乎充满的电子的集体行为所决定。 〈2〉空穴的能量 即空穴的能量等于失去的那个电子的能量的负值。 〈3〉空穴的速度即空穴的速度与失去了的那个电子的速度相同。 〈4〉空穴的有效质量 即空穴的有效质量等于失去了的那个电子的有效质量的负值。 电子的有效质量由电子的能带曲线的曲率来定义：有效质量是波矢k的函数，由于[空穴和电子的]能带曲线有中心反演对称性，这两条曲线的曲率是大小相等符号相反的，则可得到  〈 5 〉在外加电磁场中空穴的运动方程如一个带电荷为+e的粒子的运动方程：  2.电子和空穴在恒定电场下的半经典运动在外加恒定电场下，电子的波矢的改变满足方程式：在恒定电场中，电子的速度以均匀速度变化，若t=0时刻开始加电场，则在时刻t电子的波矢为   在外加电场下t时刻电子的速度为:   在BZ边界上，电子由于受Blagg反射形成驻波，驻波的速度为零，∴在BZ边界上电子的速度 在一维情况下电子的速度是有界函数不象自由电子是线性函数 一般情况下，对电流有贡献的不是电子的波矢变化，而是电子的速度变化，若 恒定，电子的k是随时间t线性增加，而电子的速度是周期性变化的。那么在恒定电场下Bloch电子对电场响应应当是交流的，这个结果显然是错误的。 这主要是我们没有考虑电子的各种散射，电子在运动过程中要与声子、晶体中的杂质等发生碰撞，这种碰撞使得把从电场中得到的定向运动的能量耗散掉使得电子在波矢空间中 并不是随t的改变而线性增大。而在波矢空间中只运