北京工业大学线性代数Cramer法则.pptVIP

第六节 克莱姆（Cramer） 法则 一、克莱姆（Cramer） 法则 二、齐次方程组解的定理 * * 设线性方程组 则称此方程组 为非齐次线性方程组; 全为零，此时称方程组为齐次线性方程组. 非齐次与齐次线性方程组的概念 若常数项 不全为零， 若常数项 我们已经知道两个方程的二元一次方 程组在系数行列式 时有唯一解 其中 是把D中第一列换成常数项第二列不 动得到的行列式； 是把D中第二列换成常 数项，第一列不动得到的行列式。 问题:上述结论对于n个方程的n元线性方程 组是否也成立？ 一、Cramer法则 的系数行列式不等于零，即 如果线性方程组 (1) 定理(Cramer法则)： 方程组右端的常数项代替后所得到的 那么线性方程组 (1)有唯一解： 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用 行列式，即 阶 证明 再把 n 个方程依次相加，得 用 中第 列元素的代数余子式 依次乘方程（1）的 n 个方程，得 由代数余子式的性质可知, ,于是 上式中 的系数等于 而其余 的系数均为 0 ； 等式右端为 也是方程组（1）的唯一解. 由于方程组（2）与方程组（1）等价，故 如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零. 推论 时,方程组（2）有唯一的一个解 当 二、齐次线性方程组解的定理 设齐次线性方程组为 方程组（3）一定有解，如 是方程组（3）的一个解，称为零解。如果 方程组（3）的一个解不全为零，则该解称 为方程组（3）的一个非零解。 若齐次线性方程组（3）的系数行列式 定理： ，则齐次线性方程组（3）只有零解. 若齐次线性方程组（3）有非零解,则它 的系数行列式 推论： 齐次线性方程组（3）一定有非零解吗？ 问题： 例1 用Cramer法则解方程组 解 如下齐次方程组有非零解， 例2 解 因为方程组有非零解，则 ，即 求 例3 设 是互不相同的三个数， 试证： 齐次线性方程组 只有零解。 证 ∵方程组的系数行列式为 是三阶范德蒙行列式，故 ∴方程组只有零解。 (书P29) 例4 平面上给定不共线的三个点 求过这三个点的圆的方程。 解： 平面上圆的一般方程为 该方程有四个待定系数，且 ∵ 在圆上， ∴ 满足圆的方程 设 为圆上的一点， ∴ 构成方程组 ∵ ∴ 方程组有非零解，则系数行列式必为零。 （关于未知量 所以有 为所求圆的方程。 * * *