特征值与特征向量的应用PPT.pptVIP

Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 一、特征值与特征向量的概念 定义 Ａ为ｎ阶方阵，为数， 为ｎ维非零向量， 若 则λ称为Ａ的特征值， 称为Ａ的特征向量． （１） 注 ②　　　并不一定唯一； ③　ｎ阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组 ①　特征向量　　 ，特征值问题只针对与方阵； 有非零解的λ值，即满足 的λ都是方阵Ａ的特征值． 定义 称以λ为未知数的一元ｎ次方程 为Ａ的特征方程． Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定义 称以λ为变量的一元ｎ次多项式 为Ａ的特征多项式． 定理 设ｎ阶方阵　　　　的特征值为 则 证明① 当　　　　　是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项 式可分解为 令 得 即 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 证明② 因为行列式 它的展开式中，主对角线上元素的乘积 是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至 多含ｎ－２个主对角线上的元素， 含　　　　的项只能在主对角线上元素的乘积项中． 故有 比较①，有 因此，特征多项式中 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹. 记为 二、特征值和特征向量的性质 推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆?Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值， 则　 为　 的特征值． 推论２ 则　 为　 的特征值． 推论３ 则　 　为　 的特征值． 推论４ 则　 为　 的特征值． 推论５ 特别 单位阵Ｅ的一个特征值为１． Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 三、应用举例 １、若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则 的一个特征值为（　　） ２、证ｎ阶方阵Ａ的满足　　　，则Ａ的特征值为 ０或１． 3、求下列方阵的特征值与特征向量 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 四、特征向量的性质 定理 互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。 定理 互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征 向量并在一块，所得的向量组仍然线性无关。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 一、定义 定义 设Ａ、Ｂ都是ｎ阶矩阵，若有可逆矩阵Ｐ， 使得 则称Ｂ是Ａ的相似矩阵，或者说矩阵 Ａ与Ｂ相似． 可逆矩阵Ｐ称为把Ａ变成Ｂ的相似变换矩阵． 记作： Ａ∽Ｂ． 二、性质 （1） 反身性： （2） 对称性： （3） 传递性： Ａ∽Ａ； Ａ∽Ｂ，则Ｂ∽Ａ； Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，则Ａ∽Ｃ； Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011