《几何与代数》科学出版社第五章特征值与特征向量4.pptVIP

实对称矩阵的特征值均为实数，所以对应特征值特征向量的齐次方程组必有实的基础解系，因此必有实的特征向量。 * 实对称矩阵的特征值均为实数，所以对应特征值特征向量的齐次方程组必有实的基础解系，因此必有实的特征向量。 * 实对称矩阵的特征值均为实数，所以对应特征值特征向量的齐次方程组必有实的基础解系，因此必有实的特征向量。 * 几何与代数 主讲: 关秀翠 东南大学数学系 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 教学内容和学时分配 第五章 特征值与特征向量 教 学 内 容 学时数 §5.1 矩阵的特征值与特征向量 2 §5.2 相似矩阵 2 §5.3 实对称矩阵的相似对角化 2 §5.5 用Matlab解题 1 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. §5.2 相似矩阵 一.相似矩阵 ?可逆阵P, s.t.P?1AP =B. 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然. 相似是一等价关系, A~B, 则?多项式f(x), f(A) ~ f(B). 相似则特征多项式相同，但反之不然. 不变量为特征值,迹,行列式,秩 相似关系下的最简形为 ? = diag(?1, ?2, …, ?n). 注：不变量都只是必要条件，而非充要条件. 若A,B都可相似对角化，且特征多项式相同，则A,B相似. ? tr(f(A)) = tr(f(B)), |f(A)| = |f(B)|, r(f(A)) = r(f(B)) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. §5.2 相似矩阵 二. 方阵的相似对角化 一.相似矩阵的定义 ?可逆阵P, s.t.P?1AP =B. 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然. 相似是一等价关系, 不变量为特征值,迹,行列式,秩 相似关系下的最简形为 ? = diag(?1, ?2, …, ?n). n阶方阵A?? ? A有n个线性无关的特征向量 n阶方阵A(复)?? ? r(?iE?A) = n?ni A有n个不同的特征值 ? A??. P–1AP=diag(?1,…,?n) A属于不同特征值的线性无关的特征向量仍线性无关. 问题：是否有一类特殊矩阵必可与对角阵相似？ Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. §5.3 实对称矩阵的相似对角化 一. 实对称矩阵的性质 §5.3 实对称矩阵的相似对角化 二. 实对称矩阵的正交相似对角化 通常，实矩阵的特征值不一定是实数. 比如： 实对称矩阵的特征值均为实数. 第五章 特征值与特征向量 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1. 复矩阵的共轭矩阵 设A = (aij)m?n, aij?C. A的共轭矩阵. 则称A = (aij)m?n为 共轭运算的性质： (1) kA = k A ; (2) AT = ; (3) AB = A B; 实对称矩阵 一. 实对称矩阵的性质 §5.3 实对称矩阵的相似对角化 §5.3 实对称矩阵的相似对角化 第五章 特征值与特征向量 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 性质5.1. 实对称矩阵的特征值都是实数. 证明: 一. 实对称矩阵的性质 ? ? ? = (a1, …, an)T ? Cn. ? (???)? T? = 0 ? ? ? TA? ? ? T?? = ? ?? T? = ?