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第25讲 微积分学基本定理定积分计算（续） 授课题目 微积分学基本定理定积分计算（续） 教学内容 1. 变上限的定积分；2. 变上限的定积分的求导法则；3.原函数存在定理； 4. 微积分学基本定理；5. 定积分的换元积分法；6. 定积分的分部积分法. 教学目的和要求 通过本次课的教学，使学生能较好掌握变上限的定积分的概念，熟练掌握变上限的定积分的求导法则、定积分的换元积分法和分部积分法，理解原函数存在定理. 教学重点及难点 教学重点：变上限的定积分的求导法则定积分的换元积分法和分部积分法原函数存在定理 教学方法及教材处理提示 (1)复习并小结积分的基本性质，补充一些例题. (2)在讲授变上限的定积分是上限变量的函数时，先通过简单的连续函数变上限定积分的计算，帮助学生理解变上限的定积分的概念. (3) 变上限的定积分的求导法则并不难，在老师的启发和指导下，由学生自己给证明过程.此时还需要补充几道相关例题（如函数单调性证明，函数的极限计算等等），确实使学生能熟练掌握变上限的定积分的求导法则. (4) 微积分学基本定理是本讲的重点，也全书的重点内容. 要求学生必须掌握微积分学基本定理完整的条件与结论，深刻理解定理内涵和意义． (5) 着重讲清定积分的换元积分法和分部积分法与不定积分方法的关系，但定积分的换元积分法的内容极其丰富，应通过大量例题的讲解使学生达到熟练掌握，课后要布置一定数量的习题． 作业布置 作业内容：教材 :2，3（1，2），4（1，3，6，7），5（2），7（1），10. 讲授内容 一、变限积分与原函数的存在性 设在上可积，根据定积分的性质4，对任何，在上也可积.于是，由 （1） 定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分.类似可定义变下限的定积分：.与统称为变限积分. 注意：在变限积分中，不可再把积分变量写成，以免与积分上、下限的相混淆.由于因此，只讨论变上限积分. 定理9.9 若在上可积，则由(1)式所定义的函数在上连续． 证：对上任一确定的点，只要，按定义式(1)有 因在上有界，可设．于是，当时有 而当时，有．由此得到即证得在点连续．由的任意性，在上处处连续． 定理9.10 (原函数存在定理) 若在上连续，则由(1)式所定义的函数在上处处可导，且 证：对上任一确定的，当且时，按定义式（1）和积分第一中值定理，有由于在点连续，故有 由在上的任意性，证得是在上的一个原函数． 本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系；同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论，并以积分形式给出了的一个原函数．正因为定理9．10的重要作用而被誉为微积分学基本定理． 此外，又因的任意两个原函数只能相差一个常数，所以当为连续函数时，它的任一原函数必满足若在此式中令，得到，从而有再令,有这是牛顿-莱布尼茨公式的又一证明. 二、换元积分法与分部积分法 定理9.12 (定积分换元积分法) 若函数在上连续，在上连续可微，且满足 ，则有定积分换元公式： 证：由于等式两边的被积函数都是连续函数，因此它们的原函数都存在．设是在上的一个原函数，由复合函数微分法，可见是的一个原函数．根据牛顿一莱布尼茨公式，证得 注：从以上证明看到，在用换元法计算定积分时，一旦得到了用新变量表示的原函数后，不必作变量还原，而只要用新的积分限代人并求其差值就可以了．这就是定积分换元积分法与不定积分换元积分法的区别，这一区别的原因在于不定积分所求的是被积函数的原函数，理应保留与原来相同的自变量；而定积分的计算结果是一个确定的数. 注：如果在定理9.12的条件中只假定为可积函数，但还要求是单调的，那么结论仍然成立.（本节习题第14题） 例 计算 解：令，当由变到时，由0增到1，故取应用换元公式，并注意到在第一象限中，则有 例2 计算 解：令当由变到时，由1减到0，则有 例3 计算 解：令，当从变到时，从0增到1.于是由公式（9）及得到 对最末第二个定积分作变换，有 它与上面第三个定积分相消．故得 事实上，例3中的被积函数的原函数虽然存在，但难以用初等函数来表示，因此无法直接使用牛顿一莱布尼茨公式．可是像上面那样，利用定积分的性质和换元公式，消去了其中无法求出原函数的部分，最终得出这个定积分的值． 定理9.13 (定积分分部积分法)若为上的连续可微