讲估计量的评选标准及区间估计.docVIP

第十八讲 估计量的评选标准及区间估计 1. 估计量的评价标准 判断估计量好坏的标准是：有无系统偏差；波动性的大小；伴随样本容量的增大是否是越来越精确，这就是估计的无偏性，有效性和相合性。 （1）无偏性 设是未知参数的估计量，则是一个随机变量，对于不同的样本值就会得到不同的估计值，我们总希望估计值在的真实值左右徘徊，即其数学期望恰等于的真实值。 定义（）是未知参数的估计量，若存在，且对有=，则称是的无偏估计量，称具有无偏性。 在科学技术中，-称为以作为的估计的系统误差，无偏估计的实际意义就是无系统误差。 例的阶中心矩 存在，是的一个样本，证明：不论服从什么分布，是的无偏估计量。 证明：与同分布， 特别，不论服从什么分布，只要存在，总是的无偏估计。 例的都存在，且，若均为未知，则的估计量是有偏的。 证明：， 的估计量是有偏的。 若在的两边同乘以，则所得到的估计量就是无偏了 即， 而恰恰就是样本方差 可见，可以作为的估计，而且是无偏估计。因此，常用作为方差的估计量。从无偏的角度考虑，比作为的估计好。 例服从指数分布，其概率密度为 其中为未知，又是的一样本，则和都是的无偏估计。 证明：， 是的无偏估计。 而则服从参数为的指数分布，其概率密度为 即是的无偏估计。 事实上，， 中的每一个均可作为的无偏估计。 （2）有效性： 定义（）与（）都是的无偏估计量，若，有 且至少存在一个使上式中的不等号成立，则称有效。 例时，的无偏估计量较的无偏估计量有效。 证明：? 又 当时，显然有 ，故较有效。 （3）相合性（一致性） 定义（）是参数的估计量，若对于任意，当时（ ）以概率收敛于，则称为的相合估计量。 即，若对于任意都满足：，有， 则称为的相合估计量。 例如：在任何分布中，是的相合估计；而都是的相合估计量。 不过，相合性只有在n相当大时，才能显示其优越性，而在实际中，往往很难达到，因此，在实际工作中，关于估计量的选择要视具体问题而定。 第七章 参数估计 估计量的评选标准 从上一节得到：对于同一参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不相同，用相同的方法也可能得到不同的估计量，也就是说，同一参数可能具有多种估计量，而且，原则上讲，其中任何统计量都可以作为未知参数的估计量，那么采用哪一个估计量为好呢？这就涉及到估计量的评价问题。 对定义的理解：设是总体X的分布参数，，即服从某一分布形式的任意总体分布，参数的估计量（ ）（是简单随机样本的函数）的数学期望都等于。 在实际应用中，对整个系统（整个实验）而言无系统偏差，就一次实验来讲，可能偏大也可能偏小，实质上并说明不了什么问题，只是平均来说它没有偏差。所以无偏性只有在大量的重复实验中才能体现出来；另一方面，我们注意到：无偏估计只涉及到一阶矩（均值），虽然计算简便，但是往往会出现一个参数的无偏估计有多个，而无法确定哪个估计量好。 同分布多维随机变量最小值的分布函数： 那么，究竟哪个无偏估计更好、更合理，这就看哪个估计量的观察值更接近真实值的附近，即估计量的观察值更密集的分布在真实值的附近。我们知道，方差是反映随机变量取值的分散程度。所以无偏估计以方差最小者为最好、最合理。为此引入了估计量的有效性概念。 总体服从参数为的指数分布，服从参数为的指数分布。 关于无偏性和有效性是在样本容量固定的条件下提出的，即我们不仅希望一个估计量是无偏的，而且是有效的，自然希望伴随样本容量的增大，估计值能稳定于待估参数的真值，为此引入一致性概念。 （课间休息） 2. 区间估计 定义:的分布函数含有一个未知参数，（是可能取值的范围），对于给定的，若由样本确定的两个统计量和，对于任意满足： （4.1） 则称：随机区间[]为的置信水平为的置信区间，和分别称为置信水平为的双侧置信区间的置信下限和置信上限。称为置信水平。 当是连续型随机变量时，对于给定的，我们总是按要求求出置信区间；而当是离散型随机变量时，对于给定的，我们常常找不到区间[]使得恰为，此时我们去找区间[]使得至少为且尽可能地接近。 例,为已知,为未知, 是来自的样本,求的置信水平为的置信区间. 解:　我们知道是的无偏估计,且有． 据标准正态分布的上分位点的定义有: 即 这样，我们就得到了的一个置信水平为的置信区间: (), 简写成:() 比如,=0.05时, =0.95,查表得: 。又若，则得到一个置信水平为0.95的置信区间: (),即. （4.2） 再者，若由一个样本值算得样本均值的观察值则得到一个区间 (),即. 注: 区间已不再是随机区间了,但我们可称它为置信度为0.95的置信区间,其含义是指“该区间