西安交通大学高等数学下册期末考试试题及答案.docVIP

(2003.6.9) 一、解答下列各题(每小题5分，共25分) 1．设，求全微分. 2．求曲线，，在对应于的点处的切线和法平面方程. 3．计算曲线积分，式中是曲线上从到的一段. 4．求函数的极值. 5．求微分方程的一个特解. 二、解答下列各题(每小题6分，共24分) 在轴上求一点，使它到点的距离等于它到平面的距离. 函数由方程所确定，求. 3．改变二次积分的积分次序，其中连续. 计算曲面积分,其中是由所确定的立体的表面外侧. 三、（9分）计算三重积分，其中由所确定. 四、（9分）求半径为的质量分布均匀的半球面的重心坐标. 五、（9分）求微分方程的积分曲线方程，使其在点与直线相切. 六、（9分）设曲面方程为（为正常数）.具有一阶连续的偏导数，且，试证明此曲面上任一点处法线恒垂直于一常向量. 七、（9分）求微分方程满足的特解. 八、（6分）设是光滑的正向简单闭曲线，所围的区域记为，是的单位外法线向量，是具有二阶连续偏导数的二元函数，试证： (2002.6.17) 一、解答下列各题(每小题6分，共60分) 设点为从原点到一平面的垂足，求该平面的方程. 求过点的平面，使它与平面垂直，且与直线平行. 设，求. 在曲面上求一切平面，使该切平面垂直于直线. 求曲线上，对应点处的切线方程. 改变二次积分的积分次序，其中连续. 计算，其中积分域是：. 计算曲线积分，其中是椭圆周正向. 计算曲面积分，其中为锥面被圆柱面截下的部分曲面. 10. 求微分方程的通解. 二、（7分）求函数极值. 三、（7分）函数由方程所确定，其中具有 连续的一阶偏导数，且，求. 四、（7分）设为上半球面的外侧，计算曲面积分。 . 五、（7分）计算曲线积分，其中为以为直径的从到上半圆周. 六、（7分）求微分方程的通解. 七、（5分）已知连续可微函数满足 试求函数. 参考答案（03.6.14） 一、1.。 2.点当时,。 切线 ,法平面,=0。 3.原式。 4.由 得驻点(－4,1)。 在(－4,1)处,。 5.， 二、1.设所求点为,则，解得或； 2.；3.原式； 4.由高斯公式得,原式。 三、。 四、设半球面方程为，，重心为。 五、,,且,, , ， 六、令, ,则,曲面法向量 取 则 从而。 七、令 则代入原方程， ，即 , 令,， 得，由 ，得。 得 得 八、， 参考答案（02.6.17） 一、1.， 2. ，平面方程为 。 3.。 4. 法向量为平面方向数为，两者平行得，所以得法平面方程为： . 5.切向量为，切线方程为.6．。 7.用先二后一法得 。 8.验证，L不包含原点，故。 9.第一型面积分 。 10．齐次方程的通解为,用常数变易法求非齐方程的特解,非齐方程的通解为。 二、令，得，正定， 三、设，方程两边对求导得，方程两边对求导得 ,所以 . 四、 . 五、. 六、齐次方程的特征方程：，非齐方程的特解形式为：,,非齐方程的通解为 七、，即 对求导得,,, ,又,所以 1