导数与不等式证明(绝对精华)绪论.doc

二轮专题 （十一） 导数与不等式证明 【学习目标】 1. 会利用导数证明不等式. 2. 掌握常用的证明方法. 【知识回顾】 一级排查：应知应会 1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比如要证明对任意[]都有，可设，只要利用导数说明在[]上的最小值为即可． 二级排查：知识积累 利用导数证明不等式，解题技巧总结如下： （1）利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式. （2）多用分析法思考. （3）对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式. （4）常用方法还有隔离函数法，，放缩法（常与数列和基本不等式一起考查），换元法，主元法，消元法，数学归纳法等等，但无论何种方法，问题的精髓还是构造辅助函数，将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题. （5）建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式，有许多题都是利用泰勒展开式放缩得来. 三极排查：易错易混 用导数证明数列时注意定义域. 【课堂探究】 一、作差（商）法 例1、证明下列不等式： ① ② ③ ④ ⑤ 二、利用证明不等式 例2、已知函数 （1）若函数处取得极小值0，求的值； （2）在（1）的条件下，求证：对任意的，总有. 变式：证明：对一切，都有成立. 三、构造辅助函数或利用主元法 例3、已知为正整数，且求证：. 变式：设函数，（）. (1)试判断在定义域上的单调性； （2）当时，求证. 四、分析法证明不等式 例4、设，函数.若曲线在点处的切线与轴平行， 且在点处的切线与直线平行（是坐标原点）,证明：. 变式：已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的，存在唯一的，使．（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的关于的函数为，证明：当时，有. 五、隔离函数 例5、已知函数. （Ⅰ）设是的极值点，求并讨论的单调性； （Ⅱ）当时，证明:. 变式：已知函数其中，且. （1）讨论的单调性； （2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有； （3）若关于的方程有两个正实数根，求证： 六、与数列结合 例6、已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求证： 变式：（1）已知，求证：； （2）求证：. 【巩固训练】 1. 已知函数求证：在区间上，函数的图像在函数的图像的下方. 2.已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求证：当时，； （Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值． 3.已知，求证：. 4. 设函数. （1）判断的单调性； （2）证明：(为自然对数，). 5.已知函数 （1）求函数的最小值； （2）设不等式的解集为P，且，求实数a的取值范围； （3）设，证明：. 6.已知. (1) 讨论的单调性； （2）证明：(为自然对数，，). 7. 已知函数 求函数的最大值； 设,证明 ：. 8.设函数，曲线在点（1，处的切线为. (Ⅰ)求； （Ⅱ）证明：. 9. 已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1. （Ⅰ）求的值及函数的极值； （Ⅱ）证明：当时，； （Ⅲ）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有. 10.(选作)已知 （1）证明：当时，; （2）数列满足求证：递减，且. 1