积分中值定理的叙述方式及其应用.docVIP

第九讲 积分第一中值定理的叙述方式及其应用 积分第一中值定理无论在理论上或应用上都在积分学中有重要意义。深入掌握定理的条件、结论及其证明方法，并用它来解决问题是十分重要的。积分第一中值定理的叙述方式不同，应用它解决问题的方便程度也有所不同。目前一般的《数学分析》教材中，积分第一中值定理有如下的叙述方式： 定理1 设，且在不变号，则。 关于定理1的叙述方式及相应的证明，有如华东师大、吉林大学、刘玉琏等编的数学分析教科书。 定理1中的结论， 可以改为。将闭区间改为开区间，有时应用起来更方便。 定理2 设，且在不变号，则。 证明：因为 所以在上有最大值M，最小值m，设。先证明存在常数有 。 （9。1） 不妨设，则，且 若，则与之间的任何数都可为。 若，则，取，则 ，。 现证定理2，若，定理2显然成立。今设。 若（9。1）式中的满足：，由于，所以存在，，不妨设，因为在连续，从而，有。 若至少有一个等号成立，不妨设，则 。若则定理已成立。假如，，则将导致矛盾。事实上，因为已有 和。 今将闭区间作等分，从左到右记各小区间为，并记 。 又记的长度为，则适当取，总可使积分 。 （9。2） 因若对一切均有矛盾。又因为 ， （9。3） 这里， ， （9。4） 由（9。2）、（9。3）、（9。4）知至少存在一个子区间，使其相应积分，注意到闭区间上的连续函数 ，记，则，从而 矛盾。故。 证明某些命题，应用定理2的结论比应用定理财的结论更为简单。 例1．（第八讲第6题）设在连续，证明：。 （武汉大学2003年试卷） 证明：因为在连续，对任意的自然数 ， 因为，由的连续性， ， 所以，，从而有 。 所以，。 例2．证明： 证明：方法1：用定理1证明。 ，从而有 ，所以，，从而有， ，所以，。 方法2：用定理2证明。 由定理睬，知。 例3．证明不等式。 证明： 因为，，所以， 。 习题9 设在有连续导数，且，求证：。 证明，若在连续，则。