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概率的公理化定义及性质 统计概率 古典概率 几何概率 概率公理化定义 在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础. 数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容. 即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率. 下面介绍用公理给出的概率定义. 1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义. 柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单， 但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦. 设E是随机试验 ,Ω是它的样本空间, 若对于E的每一个事件A都赋予一个实数 P (A),它满足以下三个条件： (１) 对于每一事件A有: ( 3 ) 可列可加性： 公理化定义 则称 P(A) 为事件A发生的概率 非负性 规范性 １. 概率的定义： ( 2 ) 公理1说明，任一事件的概率介于0与1之间； 公理2说明，必然事件的概率为1； 公理3说明，对于任何互不相容（互斥）的事件序列，这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自概率之和. 由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质. 下面我们就来给出 概率的一些简单性质. 即不可能事件的概率为0 .　　 性质1 性质2 对于两两互不相容的事件 A1,A2,……An(即当i≠j时,有AiAj=Φ),有 有限可加性 性质3在概率的计算上很有用，如果正面计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件 的概率较易时，可以先计算 ，再计算P(A). 性质3 对任一事件A，有 例1 设有产品50件,其中3件次品,其余为合格品,今从中任意抽取4件,求至少一件次品的概率? 例2 将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次“6”点的概率是多少？ 令 事件A={至少出一次“6”点} A发生 {出1次“6”点} {出2次“6”点} {出3次“6”点} {出4次“6”点} 直接计算A的概率较麻烦, 我们先来计算A的对立事件 ={4次抛掷中都未出“6”点} 的概率. 于是 =0.518 因此 = =0.482 由于将一颗骰子抛掷4次,共有 =1296种等可能结果, 而导致事件 ={4次抛掷中都未出“6”点} 的结果数有 =625种 例3 有r 个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率. 为求P(A), 先求P( ) 解：令 A={至少有两人同生日} ={ r 个人的生日都不同} 则 性质4 如果 ，则有 性质5 对于任意两个事件A，B，则有