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平行四边形的专题 --- 性质与判定 吴三中 韩保华 平行四边形的性质 平行四边形的性质主要是指 ①边 两组对边分别平行 两组对边分别相等 一组对边平行且相等； ②角 两组对角分别相等 邻角互补； ③对角线 对角线互相平分； ④对称性 平行四边形为中心对称图形. 题型1；利用平行四边形的性质证明线段相等或角相等 例1：如图,四边形ABCD和四边形AECF 都是平行四边形， 证明：∠BAE=∠DCF 例2：如图，在平行四边形ABCD中， B AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F。 求证：EB=DF 证明线段相等的常用的方法： 1、证明线段所在的三角形全等 2、等角对等边 3、等腰三角形底边上的高（或顶角的平分线)平分底边 4、等量的和差为等量 5、角平分线上的点到角两边的距离相等 6、垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 7、平行四边形的对边相等或对角线互相平分 归纳小结： 变式：若△AOB的周长为15cm，AB=6cm,求AC+BD 题型2：利用平行四边形的性质计算线段和角 例3：如图，已知平行四边形的ABCD的周长是32cm，对角线AC、BD相交于点O， △AOB的周长比△ BOC的周长多4cm，求这个四边形的各边长 例5：如图，在平行四边形ABCD中，AF ⊥CD,AE ⊥BC,E、F是垂足，∠B=50°，求平行四边形ABCD的其他三个角及∠EAF的度数。 题型3：与平行四边形的性质相关的结论： （一）面积问题 基本图形一： 基本图形二： 基本图形三： 例6：如图，田村有一口四边形的池塘，在它的四个角处均种有一颗大核桃树，田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问：田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；不能，请说出理由。 例：如图在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，AF与CE相交于点O，有下列命题：⑴如果S△ABF =S△BEC，那么AF=CE;⑵如果AF=CE ,那么S△ABF =S△BEC ;⑶如果AF=CE ，那么∠ AOB= ∠ BOC;⑷如果∠ AOB= ∠ BOC，那么AF=CE，其中，正确的命题的序号是---- ⑵⑶⑷ （二）线段相等问题 小结：过平行四边形对角线的交点作直线与对边（或对边的延长线）相交所得的对应线段相等 例：（2011·潼南中考)如图，在 平行四边形ABCD中(AB≠BC)， 直线EF经过其对角线的交点O， 且分别交AD、BC于点M、N，交 BA、DC的延长线于点E、F，下列结论： ①AO=BO;②OE=OF;③△EAM≌△EBN;④△EAO≌△FCO,其中正确的是( ) (A)①② (B)②③ (C)②④ (D)③④ B 平行四边形的判定 平行四边形的判定方法较多，但基本上是用角、边、对角线的关系来判定； （１）若两组对角分别相等，则四边形为平行四边形； （２）若两组对边相等或一组对边相等且平行，则四边形为平行四边形； （３）若四边形的对角线互相平分，则此四边形为平行四边形； 例6：如图，已知E、F是四边形ABCD的对角线 AC上的两点，AE=CF,BE=DF,BE ∥DF, 求证：四边形ABCD是平行四边形 题型4：平行四边形的判定的运用 例7：如图，四边形ABCD中，DC ∥AB,AD、AC为边作平行四边形ACED，延长DC交EB于F，求证：EF=FB 题型5：构造平行四边形证明几何题 例8：已知，如图，AD为△ABC的中线，E为AC上一点，连接BE交AD于点F,且AE=FE， 求证:BF=AC 变式：如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，AD ⊥BC于点D,BG平分∠ABC ，BG与AD相交于点E，EF ∥BC且交AC于F， 求证：AE=CF 题型6：构造平行四边形求解角度问题 例：如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM=AC，点 N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于点P，求证：∠BPM=45° 变式：如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB,M是AD的中点，CE ⊥AB于E，求证：∠DME=3∠AEM. 变式：如图，在等腰△ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连接DE，恰有AD=BC=CE=DE，求∠BAC D