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利用导数证明不等式 沁阳一中 尚思红 导数是高中新课程的新增内容，它既是研究函数性态的有力工具，又是与高等数学接轨的有力点。而不等式证明是高中数学的重要内容，也是不等式的难点，虽然证明不等式有众多的方法，但有些问题也很难下手。导数这一工具性知识的引入，为我们证明不等式开辟了一条新的路径，将导数与不等式证明有机结合起来，不仅可以设计出新颖题型，相信也必将成为高考命题的新方向。下面，通过一些具体实例，来就利用导数证明不等式的基本方法做一探讨。 1.直接做差构造函数.：关键点①做差后证明函数的单调性②找到新函数的零点(通常为最值点) 已知函数，求证：当时，恒有 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 ，从其导数入手即可证明。 解: ∴当时，，即在上为增函数 当时，，即在上为减函数 故函数的单调递增区间为，单调递减区间 于是函数在上的最大值为，因此，当时，，即∴ （右面得证）， 现证左面，令， 当 ， 即在上为减函数，在上为增函数， 故函数在上的最小值为， ∴当时，，即 ∴，综上可知，当 例2：当时，证明不等式成立。 证明：设则 令则当时，在上单调递增，而 在上恒成立，即在恒成立。在上单调递增，又即时，成立。 例3　当x0时,求证：x－ln(1+x)＜0． 证明　设f(x)= x－ln(1+x) (x0), 则f(x)=． ∵x0,∴f(x)0,故f(x)在（0，+∞）上递减， 所以x0时,f(x)f(0)=0，即x－ln(1+x)0成立． 利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面，也成为高考的一个新热点，其关键是构造适当的函数，判断区间端点函数值与0的关系，其实质就是利用求导的方法研究函数的单调性，通过单调性证明不等式。 相关高考题 1、（2007安徽理18）设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x0）. （Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x1时，恒有xln2x－2a ln x＋1. 本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力． 2 0 极小值 （Ⅰ）解：根据求导法则有， 故， 于是， 列表如下： 故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值． （Ⅱ）证明：由知，的极小值． 于是由上表知，对一切，恒有． 从而当时，恒有，故在内单调增加． 所以当时，，即． 故当时，恒有． 2、把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的． 1.取对数法 【例4.】设，试证： 证明：不等式两边取对数得：.令，则. 当时，=，所以，函数在 上单调递增.从而，，即，也即（）. 评注：此题若采用“差法”容易想到构造辅助函数，但不易证得= ，故本题不宜采用“差法”。 2.变量替换法 【例5】设，证明： 证明：原式（以替换）== （以替换）.令，， 则，所以，函数单调递增.从而， 当时有，即. 评注：此题证明过程中引入两个变量，目的是通过变量替换使形式简化，以便于构造辅助函数。 3.形式转换法 例6 证明:当时,有 分析 只要把要证的不等式变形为,然后把相对固定看作常数,并选取辅助函数.则只要证明在是单调减函数即可. 证明 作辅助函数 于是有 因为 故 所以 因而在内恒有,所以在区间内严格递减. 又因为,可知 即 所以 相关高考题 1.（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式 都成立. 分析：本题是山东卷的第（II）问，从所证结构出发，只需令，则问题转化为：当时，恒有成立，现构造函数， 则在上恒正， 所以函数在上单调递增，∴时，恒有 即，∴ 对任意正整数n，取 【】在上单调递增，则时，有．如果＝，要证明当时，，那么，只要令＝－，就可以利用的单调增性来推导．也就是说，在可导的前提下，只要证明０即可． 例2：（2001年全国卷理20）已知是正整数，且 证明： 分析：要证成立，只要证 即要证成立。因为mn，所以，设函数 ，只要证f(x)在是减函数。 证明：设函数，则 即： 因为： 所以：，所以在是减函数，而 所以，即； 从而：。 3.从条件特征入手构造函数证明 【】在R上可导且满足不等式x－恒成立，且常数a，b满足ab，求证：．ab 【】+0 ∴构造函数 ， 则 x+0， 从而在R上为增函数。 ∴ 即 ab 【】， 求证：对任意的正数、，恒有 解析：函数的定义域为， ∴当时，，即在上为减函数 当时，，即在上为增函数 因此在取得极小值，而且是最小值 于是，