第章(数学基础).pptVIP

课程内容;第二章 优化设计的数学基础 ;第二章 练习 求解二元函数f(x1,x2)在x0=[0，0]T处函数变化率最大的方向和数值。 求解二元函数f(x1,x2)在x0=[1，2]T处的二阶泰勒展开式。;计算多元函数的梯度与方向导数。2. 证明:目标函数在某点处的梯度是该目标函数等值线或超 曲面在该点的法向量3.多元函数的泰勒展开式，取到二次项。4.证明：驻点为极小点的充要条件为，海赛矩阵正定。5.元函数求其极值点和极值。（先求驻点，再判断海赛 矩阵）6.凸函数凸集的定义，性质7.拉格朗日乘子法8.库恩-塔克条件判断约束极值点 ;结 束;第一节 多元函数的方向导数与梯度 ;二者分别代表函数 ;方向导数与偏导数之间的关系： ;推广到ｎ元函数;;;梯度的方向：是函数;∴梯度方向 与d方向垂直，即为等值面的法线方向。;梯度方向为等值面的法线方向??;三、多元函数的梯度;在;第二节 多元函数的泰勒(Taylor)展开 ;写成矩阵形式为 ;;;;优化计算经常把目标函数表示成二次函数以便使问题的分析得以简化。 二次齐次函数称为二次型，其矩阵形式为：;一、一元函数的情况 (1)极值点存在的必要条件（驻点存在） ;（2）极值点存在充分条件 ;即;如;第四节 凸集、凸函数与凸规划;;凸集具有以下性质： ①设A是一个凸集，β是一个实数，a是凸集A;二、凸函数的定义 ;对一元函数;凸函数的基本性质;1、若函数;四、凸规划;3、凸规划的局部最优解就是全域最优值解。 （证明见书本） 对于非凸规划，则局部最优解不一定是全域最优解。如图所示。 （实际问题中， 目标函数一般为 高维函数，很难 被证明为凸函数） ;第五节 等式约束优化问题的极值条件;?;把l个等式约束给出的l个;由拉格朗日函数取极值的条件为;取拉格朗日函数：;例：;一、一元函数在给定区间上的极值条件 （自学） ;;两个起作用的约束;落在;图b;对于同时有多个起作用约束条件时，则Kuhn-Tucker条件的几何意义为:; 设有二维目标函数 ;解：易看出约束极小点为; 点确定为约束极值点，并且是全域最 优点，显然该问题是一个???规划的问题。 但在许多情况下，函数、可行域的凸性难以判断，所以优化研究的课题之一就是判断符合K—T条件的约束极值点是全域最优点，还是局部极值点。 ;结 束