肺结核的数学模型.docVIP

肺结核在江苏省传播的数学模型 目录 一.摘要 二.问题的提出 三.问题的分析 四.建模过程 1) 问题一 1.模型假设 2.定义符号说明 3.模型建立 4.模型求解 5.结果分析 2）问题二 1.模型假设 2.定义符号说明 3.模型建立 4.模型对应曲线 5.结果分析 3）问题三 1.问题分析 2.模型假设 3.定义符号说明 4模型建立 5.模型求解 6.模型对应的曲线图形 7.结果分析 4）问题四 1.问题分析 2.模型假设 3.定义符号说明 4.模型建立 5.模型求解 6.结果分析 五.模型的评价与改进 六．参考文献 一．摘要：针对肺结核（pulmonary tuberculosis PTB）传播问题，运用常微分方程建立模型； 关键词：常微分方程； 二. 问题的提出 肺结核（pulmonary tuberculosis PTB，又名：肺痨）是由结核分枝杆菌引发的肺部感染性疾病。是严重威胁人类健康的疾病。健康人感染结核菌并不一定发病，只有在机体免疫力下降时才发病。根据世界卫生组织（WHO）统计表明：全世界每年发生结核病800～1000万，每年约有300万人死于结核病，是造成死亡人数最多的单一传染病。1993年WHO宣布“全球结核病紧急状态”， 认为结核病已成为全世界重要的公共卫生问题。我国是世界上结核疫情最严重的国家之一。肺结核的蔓延给我国人民的生活带来了很大的影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定性定量地研究传染病的传播规律对预测和控制传染病蔓延的重要性。 三．问题的分析 针对在江苏省，肺结核病毒传播和蔓延的严峻形势，用数学模型做出分析具有一定的意义，我们有必要建立数学模型来描述结核病的传染趋势，从而对肺结核病毒的传播进行有效的预防和控制经分析对肺结核（pulmonary tuberculosis PTB）传播建立数学模型的具体要求如下： 1）分析肺结核传播初期模型的合理性与实用性； 2）建立新的肺结核传播模型，说明哪些方面优于初期模型，特别要说明怎样才能建立一个真正能够为预测和控制提供可靠、足够信息的模型，这样做的困难在哪里，对于卫生部门所采取的措施做出评价，如：起始时因症状轻微患者自觉无不适，一般不引起注意。只有在病情发展进展时才出现症状，有的人抵抗力很差，感染结核菌的菌量大，毒力强，那么症状会非常明显，在此情况下，对病疫传播的影响作出估计。 四．模型的分析与建立 1) 问题一 1.模型假设 假设疾病传播期间,江苏省的总人数N是不变的，假设t时刻的病人数N(t)是连续的可微函数。 2.定义符号说明 N——江苏省的总人数； ——每个病人每天平均接触的人数。 3.模型建立 则t到()病人人数的增加就有： 再设t=0时有N0病人，即得微分方程 (1) 4.模型求解 则方程(1)的解为： ; (2) 5.结果分析：由方程组的解可知该模型是一个指数模型，即随着时间的t推移，病人的人数将按指数规律增长，若考虑到传染期限L的作用，变化与方程组(1)的解会有显著的偏离率,速度会放慢。 该模型的不合理处在于：在病人接触的人群中有健康者也有病人，其中被接触的健康者才能被感染为病人，且根据生活的实际，病人的人数不可能无限增长。 2）问题二 1.模型假设 a.假设在疾病传播期间，江苏省的总人数N是不变的，不考虑人口的迁移，则在t时刻时，健康者S与病人I这两类人在人群中所占的比例分别记作s(t)和i(t); b. 每个病人每天接触的平均人数为，称为日接触率但由于被结核菌感染的人群中只有 5％—10％的人会发生结核病,其余90%以上的人并不发病，且根据医学研究表明感染了结核病菌而没有发病的这类人是不会传播结核病的。则记被感染且发病的人占病人日接触人数的，的范围在5％~10％之间； 2.定义符号说明 N——江苏省的总人数； ——每个病人的日接触率； ——健康者S在人群中占的比例； ——病人I在人群中占的比例； ——被病人接触感染的人群中实际发病的比率； ——每个病人的日有效接触率 3.模型建立 根据假设则每个病人每天可使s(t)个健康者成为病人，病人的人数为Ni(t),所以每天被有效感染的健康的人数为Ns(t)i(t)，于是Ns(t)i(t)就是病人数Ni(t)的增加率，即有 (3) 又因为 (4)再记初始时刻（t=