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一阶倒立摆系统稳定控制实验报告课程名称：最优控制课程时间：2015年春授课教师：李传江学生姓名：学生学号：所在组别：哈尔滨工业大学航天学院2015年6月1.一阶倒立摆实物图2.一阶倒立摆工作示意图及相关参数M：小车质量，1.1kgm：摆杆质量，0.1kg b：小车摩擦系数，0.1N/m/s l：摆杆转动轴心到质心的长度,0.25m I：摆杆惯量，0.0034kg·m2F：加在小车上的力 x：小车位置 φ：摆杆与垂直向上方向的夹角 θ：摆杆与垂直向下方向的夹角(摆杆初始位置为竖直向下)3.一阶倒立摆系统受力分析图4.一阶倒立摆系统建模分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：M?x?=F ?bx??N由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：即：为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：力矩平衡方程如下：合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：5. 线性微分方程模型推导6.系统传递函数求取将如上所示两个运动方程进行拉式变换与整理可求得：代入相关参数，求得：针对数学模型,采用ITAE优化技术设计最优PID 控制器对其摆角进行控制令=,闭环传递函数即=根据,令=1.5rad/s代入等式，解得：并由此设计仿真：由图像得：满足技术指标要求。7.系统状态空间模型建立与分析以为状态变量，为输出变量，分别推导以作用在小车上的力u 为输入和以小车运行的加速度为输入的系统状态空间描述u 为输入= + u其中代入数据得：= + u为输入= +代入数据得：= +针对传递函数模型和状态空间模型，分析开环系统运动的稳定性，给出单位阶跃响应结果，并针对状态空间模型，分析系统的能控能观性u 为输入由传递函数模型：仿真：由仿真图像知：系统不稳定由状态空间模型：= + u转换为约当标准型为：= + u有正实部特征根，系统不稳定，但是能观且能控。（2）为输入由传递函数模型：仿真：由仿真图像知：系统不稳定由状态空间模型：= +转换为约当标准型为：= +有正实部特征根，系统不稳定。8.LQR与倒立摆位置与转角的控制根据性能指标的要求，应用LQR 方法设计控制器对一阶倒立摆的位置x 和摆杆角度?进行控制，下图是U = -70.7107 -45.1390 144.1095 29.0517时，倒立摆在受到扰动之后的位置与摆角的变化曲线:下面讨论不同Q和R选取下。系统性能的不同变化：1.Q为单位阵，R=1A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 25.39 0]; B=[0 0 0 0;0 1 0 2.59;0 0 0 0;0 2.59 0 6.7]; C=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1]; P=are(A,B,C)P = 2.1400 1.7896 -5.5242 -1.0789 1.7896 3.2654 -10.7376 -2.0902 -5.5242 -10.7376 76.3209 14.7219 -1.0789 -2.0902 14.7219 2.9398U=[0 1 0 2.59]*PU = -1.0047 -2.1481 27.3922 5.52392.Q为单位阵，R=10P = 3.1049 4.3201 -14.5898 -2.8889 4.3201 11.9248 -42.4104 -8.3951 -14.5898 -42.4104 535.5802 105.9318 -2.8889 -8.3951 105.9318 21.0549U = -0.3162 -0.9818 23.1953 4.61373. Q=[50000 0 0 0;0 1000 0 0;0 0 1000 0;0 0 0 300]; R=10;P = 1.0e+004 * 3.1918 0.9688 -2.0543 -0.4013 0.9688 0.4089 -0.9100 -0.1753 -2.0543 -0.9100 2.1834 0.4070 -0.4013 -0.1753 0.4070 0.0789U = -70.7107 -45.1390 144.1095 29.05174. Q=[500 0 0 0;0 0 0 0;0 0 1000 0;0 0 0 0];R=10;P = 1.0e+003 * 0.4853 0.2355 -0.5790 -0.1182 0.2355 0.16