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泊松分布和指数分布：10分钟教程作者： /阮一峰日期： /blog/2015/06/2015年6月10日大学时，我一直觉得统计学很难，还差点挂科。工作以后才发现，难的不是统计学，而是我们的教材写得不好。比起高等数学，统计概念其实容易理解多了。我举一个例子，什么是/wiki/%E6%B3%8A%E6%9D%BE%E5%88%86%E4%BD%88泊松分布和/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%88%86%E5%B8%83指数分布？恐怕大多数人都说不清楚。我可以在10分钟内，让你毫不费力地理解这两个概念。一、泊松分布日常生活中，大量事件是有固定频率的。某医院平均每小时出生3个婴儿某公司平均每10分钟接到1个电话某超市平均每天销售4包xx牌奶粉某网站平均每分钟有2次访问它们的特点就是，我们可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发生时间。已知平均每小时出生3个婴儿，请问下一个小时，会出生几个？有可能一下子出生6个，也有可能一个都不出生。这是我们没法知道的。泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率。上面就是泊松分布的公式。等号的左边，P 表示概率，N表示某种函数关系，t 表示时间，n 表示数量，1小时内出生3个婴儿的概率，就表示为 P(N(1) = 3) 。等号的右边，λ 表示事件的频率。接下来两个小时，一个婴儿都不出生的概率是0.25%，基本不可能发生。接下来一个小时，至少出生两个婴儿的概率是80%。泊松分布的图形大概是下面的样子。可以看到，在频率附近，事件的发生概率最高，然后向两边对称下降，即变得越大和越小都不太可能。每小时出生3个婴儿，这是最可能的结果，出生得越多或越少，就越不可能。二、指数分布指数分布是事件的时间间隔的概率。下面这些都属于指数分布。婴儿出生的时间间隔来电的时间间隔奶粉销售的时间间隔网站访问的时间间隔指数分布的公式可以从泊松分布推断出来。如果下一个婴儿要间隔时间 t ，就等同于 t 之内没有任何婴儿出生。反过来，事件在时间 t 之内发生的概率，就是1减去上面的值。接下来15分钟，会有婴儿出生的概率是52.76%。接下来的15分钟到30分钟，会有婴儿出生的概率是24.92%。指数分布的图形大概是下面的样子。可以看到，随着间隔时间变长，事件的发生概率急剧下降，呈指数式衰减。想一想，如果每小时平均出生3个婴儿，上面已经算过了，下一个婴儿间隔2小时才出生的概率是0.25%，那么间隔3小时、间隔4小时的概率，是不是更接近于0？