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数模案例3假想空心地球 TZC-MCM 李韶伟 677193 问题来源 Newton万有引力公式 ↓。下面的地壳离身体近，地壳对人的吸引力就大！ ↑。上面的地壳要大的多，大块地壳的引力要大些！ 综合考虑质量和距离两方面对引力的影响！！ 想象： 假如地球是一个空壳…… 我们在里面是空中漂浮！ 静电实验 金属球内部无静电场！ 预测地下重力 离地球越远，重力越小！ 数模案例4地下高速列车 TZC-MCM 李韶伟 677193 基本假设 忽略地质、技术条件等因素影响； 忽略旅客的速度承受能力对车速的限制； 忽略列车摩擦和空气阻力； 不考虑行车安全等等辅助保障设施； 忽略地球自转对车速的影响； 地球是一个球体； 各车站到地心的距离是一样的； “慢”车行驶时间 amax≈1g，不太舒适！等等。。。 空气阻力对列车的影响很大 涉及能耗、噪音、安全等一系列问题！ * 地球是实心的，里面是炽热的岩浆。 《地心游记》将地球想象成足球一样的一个空壳，里面是怎样一个奇幻世界啊！？ 设想可以进入空心地球内部旅游，…… 我们在地球表面，是有“重力”作用的！ 到了地球内部，四面八方的地壳都在吸引你…… 引力的合力究竟是什么方向？ “化整为零”思想 将地球视为一层一层的同心球壳，每层极薄极薄，比如1mm厚。只需求出这一层极薄的球壳对人的引力即可，不管多少层，一层一层加起来就是了！ 这一薄壳，是直径上万米的大球壳。我们将目光集中于一小块，比如就1mm2，这一小块的弄明白了，再把许多块加起来。 P2 P1 G d2 d1 B A 设人的质量为m，薄壳A的质量为P1. 薄壳A上任取一点与G相连，连线延长后交与对面球壳上的一点。当点在A上走遍时，对面那个点也走遍了一小块薄壳B。 人的质心为G. 当A和B很小时，可把这两块看成是相似形，相似比为d1/ d2. 两块薄壳的质量P1和P2之比与两块面积成正比，面积比又等于相似比的平方, 故： 于是 F1和F2大小相等，方向相反，合力为0！ k为库伦常数 这一切都是基于地球是空心的设想之上的，地球实际上是实心的，这些是不是仅仅是空想，而无任何价值呢？ 2000m 我们沿着矿井走到地层深处，重力是比地面更大，还是更小呢？ 设地球半径为R，地球质量为M，人的质量为m. 假设地球质量分布是均匀的，质量比等于体积比. R≈6378km 体重约减少1/3189. 思考：最深的金矿约4500米深，重力的变化有多大呢？ S 乌鲁木齐 上海 W M O 地球是球形的，地球上两点之间的最短距离是穿越地球内部的“弦”！ 忽略地质、技术条件等因素影响。沿着这条弦挖一条笔直笔直的地道，连接乌鲁木齐和上海。 这是真正意义上的上海—乌鲁木齐的“直”达列车线！ 地道斜向下延伸，对方在自己脚下！ 这直达列车到底有多快呢? Car, 50h Train, 46h Airplane, 4.5h 3920km S W M O P R 车自动滑行 越滑越快 到中点M处最快 车继续向前冲，速度减慢 列车到站慢慢停下来 能量守恒原则 。。。。。。 变速直线运动 钟摆 v(t),a(t)都是随时间变化的 S W M O P R 列车在SM上任一点P处的加速度a多大？ Newton第二定律 F = m a F为地心引力(沿PO方向)在PM方向上的分力. N F G 严格的说，不是它！ 由案例3可知：此时的引力与地球表面引力之比为OP/R. S W M O l P* l R 加速度a的在SM段变化过程g→0. 变加速直线运动 微积分能解决此类问题 估算 设P*为SM的中点. 假想有一匀加速运动列车在SP*段行驶，加速度为aP* . 在SP*段行驶的变加速运动列车, 加速度不小于aP* . 此乃“慢”车也！！！ 路程S = SP*，加速度a = aP* . 即 SP*=MP* R=6378164m，g=9.8m/s. T≈1141秒 匀加速列车跑SM段耗时不超过2T，即2282秒;全程不超过4T，即4564秒. 约76分钟！！！ 无论从地球上哪里到哪里，都用不了80分钟！！！“低能耗” 变加速运动列车时间 二阶微分方程 当S(t)=SM时， R=6378164m,g=9.8m/s. 得T ≈1267.23秒 无论从地球上哪里到哪里都需约42分钟 ！ 绝对“低能耗”！ 真空管道磁悬浮列车 理论上可达20000km/h (第一宇宙速度) ，运行的速度1000~ 6000km/h. 北京?纽约，2h！ 环球旅行，6h！ /xz/201205/414496.html * * *