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向量法在高中数学中的应用 the application of vector method in high school mathematics 摘 要 向量是高中数学的一个重要的知识点，运用于方方面面，主要运用在圆锥曲线与立体几何两方面。由于联系到许多其他知识点，向量掌握的好与坏，直接影响学生的高中数学学习质量。近几年的高考趋势表明，向量在高中扮演的角色越来越重要。 Vector Method is a significant and widely-used knowledge point in high school mathematics, and it mainly used in terms of conic section and solid geometry. As Vector Method is linked to many other math knowledge points, therefore, students’ mastery degree of it directly influences the quality of high school math studies. Furthermore, the trend of College Entrance Examination in recent years has clearly indicated the increasing importance of Vector Method in high school mathematics. 关键词：向量；平面几何；立体几何；代数 Keyword：Vector；planimetry；stereometry；algebra 目 录 引 言 4 1、平面几何 6 1.1、 利用向量解决基础平面图形问题 6 1.2、 利用向量求解圆锥曲线问题 7 2、 立体几何 9 2.1、 利用向量解决平行问题 9 2.2、 利用向量解决垂直问题 10 2.3、 利用向量来求空间角问题 11 2.4、 空间距离 13 2.4.1、 两点距离 13 2.4.2、 点到直线距离 13 2.4.3、 点到平面距离 14 2.4.4、 异面直线距离 14 3、代数 15 3.1、 不等式问题 15 3.2、 求最值问题 16 3.3、三角函数中的应用 16 结 论 17 参考文献 18 致 谢 18 引 言 向量是高中数学的重要内容，也是数学的重要概念之一，由于它既有几何的表示方法又有代数表示方法，与中学数学的许多主干知识交汇。因此，它或作为知识的载体，或作为解决问题的工具，几乎渗透到数学的所有分支之中。 当然，在本文阐述向量在高中数学中的应用的开始，先来认识一下什么是向量。数学中，向量既有大小又有方向且遵循平行四边形法则的量。。表示，或者用带箭头的两个大写字母表示。 2. 几何表示：向量可以用有向线段来表示，用有向线段的长度表示向量的大小。如图，若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。这种具有方向和长度的线段叫做有向线段为任意向量，则以x0表示在x轴上的射影长度，y0表示在y轴上的射影长度。分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为一组基底=x0*+y0*，并用坐标（x0，y0）唯一的表示。 向量的分类： 1. 零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。如果向量与向量的模相等且方向相反，那么我们把向量叫做向量的负向量长度为一个单位（即模为1）的向量，叫做单位向量与向量同向或反向，且长度为单位1的向量，方向上的单位向量。 4. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量向量与相等，记作=直线lα，取直线l的方向向量，则向量叫α的法向量。 向量的运算： 1. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。+时，将三角形ABD补成平行四边形ABCD，显然图中所有的相等，所有的相等，故+=+ =。就是说，如果要求两向量的和，只要将它们补成平行四边形，从公共点出发的对角线所成的有向线段就是它们的和。 2. 向量的减法：如果是互为相反的向量，那么=，=-，+=的反向量为-=+=，即共同起点，指数相减。 3. 向量的数乘：实数λ和向量的乘积是一个向量，记作λ，且λ∣=∣λ∣·∣∣。λ0，则λ与同向，若λ0，则λ与反向，若λ=0，则λ=0，方向任意。 数乘的运算规律： 结合律：(λ)=λ(·)=(·λ)。 第一分配律：(λ+μ) =λ+μ第二分配律：λ(+)=λ+λ