89推理与证明.docVIP

领航教育 2015年暑假3-8人班 VIP精品教案 — 夏 推理与证明 （一）推理 ⑴合情推理： ①归纳推理：由部分到整体，由个别到一般的推理。 例1：三角形的内角和是，凸四边形的内角和是，凸五边形的内角和是 由此我们猜想：凸边形的内角和是 例2：，由此我们猜想：（均为正实数） 这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳) 通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。 归纳推理的一般步骤： ⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。 ②类比推理：特殊到特殊的推理。类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。 我们看几个类似的推理实例。 例3、试根据等式的性质猜想不等式的性质。 等式的性质： 猜想不等式的性质： (1) a=b(a+c=b+c; (1) a＞b(a+c＞b+c; (2) a=b( ac=bc; (2) a＞b( ac＞bc; (3) a=b(a2=b2;等等。 (3) a＞b(a2＞b2;等等。 问：这样猜想出的结论是否一定正确？ 例4、试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合. 圆 球 弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积 圆的性质 球的性质 圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦 球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆 与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长 与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大 圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 经过切点且垂直于切面的直线必经过球心 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 类比推理的一般步骤： ⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。即 ⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。 三段论（1）大前提……已知的一般原理 （2）小前提……所研究的特殊情况 （3）结论……根据一般原理，对特殊情况作出的判断 例5．在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E为垂足， 求证：AB的中点M到D，E的距离相等。 证明：因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，…………………大前提 　　　而M是Rt△ABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线，………小前提 　　　所以DM＝，……………………………………………………结论 　　　同理，EM＝. 所以DM＝EM 评注：“三段论”可以表示为 　　　大前题：M是P　　　　小前提：S是M　　　　　结论：S是P。 用集合论的观点分析：若集合M中的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P。 （二）证明 ⒈直接证明： （1）比较法：是证明不等式的一种最重要最基本的方法。 比较法分为：作差法和作商法 作差法：若a，b∈R，则： a－b＞0a＞b；a－b＝0a＝b；a－b＜0a＜b 它的三个步骤：作差——变形——判断符号（与零的大小）——结论. 作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时，通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左— 右的符号，从而降低了问题的难度。作差是化归，变形是手段，变形的过程是因式分解（和差化积）或配方，把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和，进而判定其符号，得出结论. 例6、求证：x2 + 3 3x 证：∵(x2 + 3) ( 3x = ， ∴x2 + 3 3x 例7：已知a, b, m都是正数，并且a b，求证： 证： ，∵a,b,m都是正数，并且ab， ∴b + m 0 , b ( a 0∴ 即： 变式题1：已知a, b都是正数，并且a ( b，求证：a5 + b5 a2b3 + a3b2 变式题2：已知a，