高代论文之矩阵的乘法.doc

矩阵乘法的相关探讨 摘要: 矩阵是数学中的常见工具，而矩阵的一般乘积又是矩阵相乘最重要的方法。本文简单介绍了矩阵及矩阵相乘的定义，然后介绍了Hadmamard乘积以及Kronecker乘积的定义及应用。并通过实例讲述了矩阵相乘的来源和推广。 关键词: 矩阵 矩阵相乘 Hadamard Kronecker 正文: 引言. 矩阵的概念最早于1922年见于中文。1922年，程廷熙在一篇介绍文章中将矩阵译为“纵横阵”。1925年，科学名词审查会算学名词审查组在《科学》第十卷第四期刊登的审定名词表中，矩阵被翻译为“矩阵式”，方块矩阵翻译为“方阵式”，而各类矩阵如“正交矩阵”、“伴随矩阵”中的“矩阵”则被翻译为“方阵”。1935年，中国数学会审查后，中华民国教育部审定的《数学名词》（并“通令全国各院校一律遵用，以昭划一”）中，“矩阵”作为译名首次出现。1938年，曹惠群在接受科学名词审查会委托就数学名词加以校订的《算学名词汇编》中，认为应当的译名是“长方阵”。中华人民共和国成立后编订的《数学名词》中，则将译名定为“（矩）阵”。1993年，中国自然科学名词审定委员会 公布的《数学名词》中，“矩阵”被定为正式译名，并沿用至今。 矩阵及矩阵乘法基本定义. 1.矩阵定义：称数域F中m×n个数（i=I，2，…，m;j=1,2,…,n）排成的m行n列的矩形表格为数域F上的一个m×n矩阵，简记为，其中称为矩阵的第i行第j列交叉点上的元素（简称元）。 2.矩阵乘法的基本定义：设A=，B=.称m×n矩阵C=为A与B的乘积，其中（i=1,2,…，m;j=1,2,…，n）.记为C=AB. 三．矩阵乘法的由来. 矩阵乘法是由Arthur Cayley在约1855年发明的，他在剑桥三一学院学习文学，却对数学产生了强烈的兴趣。毕业后从事了14年法律工作，但业余时间主要用来研究数学，在这期间发表了300多篇数学论文，对矩阵理论作出了巨大的贡献。 那么，矩阵的的乘法到底是怎么来的呢，下面通过一个实际问题来阐述矩阵乘法来源。 设是m个厂，他们都生产n种产品，而厂生产的年产量为，i=1,2,…，m;j=1,2,…,n.于是，对每个工厂各种产品年产量的统计表如下（左），其相应产量矩阵如下（右）。 如果第二年各厂各种产品的产量皆是头一年的λ倍,这便是数乘矩阵λA的实际意义;如果计算各厂各种产量两年的总产量,相应的便是矩阵的加法。为看出矩阵乘法的实际意义,还应给出与各种产品所需原料的矩阵。 设产品B1,B2,…,Bn皆需p种原料C1,C2,…Cp,而生产一件Bk所需原料Cj的数量为bkj,于是,统计各种产品每件所需的原料数表(左),便得单件原料矩阵(右)。 现在需要计算各厂每年所需各种原料的总数,以便提前做好充分的准备。设厂一年所需原料的总数为,则各厂一年所需各种原料总数的统计表(左),便得一年原料总数矩阵。 显然,知道各厂各种产品的产量(A)和每件产品所需的各种原料数(B),则各厂所需的各种原料的总数(C)也随之而定,现在的问题是:如何从已知的A、B,计算出欲求的C? 计算C,实际上就是计算各个cij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,p),为清楚起见,算cij之前,先将与之有关的两组数列表如下 对每件产品来说，一年所需总料数=年产量×单件所需原料数。因而就有，转换为行乘列的形式即为： = 如此，便可很直观的看出矩阵相乘的来历了！ 四．矩阵乘法的其他定义. 1.Hadamard乘积：给定两个相同维度的矩阵，我们有Hadamard乘积，或称做分素乘积（entrywise product）。两个m×n矩阵A、B的Hadamard乘积标记为,唯一定义为的m×n矩阵。例如， 需要注意的是，Hadamard乘积Kronecker乘积的子矩阵。 2.Kronecker乘积 给定人两个矩阵A和B，我们可以得到两个矩阵的直积，或称为Kronecker乘积，,其定义如下 当A是m×n矩阵和B是p×r矩阵时，会是mp×nr矩阵，而且，此乘积也是不可交换的，举个例子， 若A和B分别表示两个线性算子→和→,便为其映射的张量乘积，. 共同性质 上述三种乘积都符合: 结合律：A(BC)=(AB)C 分配律：A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC 与标量乘积相容： c(AB) = (cA)B (Ac)B = A(cB) (AB)c = A(Bc) 上述三个分开的表达式只有在标量体的乘法及加法是可交换（即标量体为一可交换环）时会相同。 总结. 本文通过讨论矩阵的各种乘法，包括一般矩阵乘积、Hadamard乘积和Kronecker乘积，以及这些乘积的运算性质，也