西华大学2013年应用计算方法试题及答案.doc

研究生课程考试试题 课程名称： 计算方法 考试类型（考试或考查）： 考试 年 级： 2013 学时： 54 考试时间： 2013年12月20日 专 业： 学生姓名: 学号: 一、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分） 1、经过四舍五入得到近似数，它有 5 位有效数字。 2、设是阶方阵，的1-范数为。 3、设，的谱半径 1 。 4、用牛顿迭代法求方程的根，迭代公式为。 5、设解线性方程组的迭代公式为，则迭代法收敛的充要条件是。 6、设（）是关于个互异结点的次插值基函数，则 1 。 7、对于个结点的插值型求积公式至少具有 n 次代数精度。 8、对初值问题，当步长满足时，Euler方法是绝对稳定的。 二、计算题（共7个小题，每小10分，共70分） 1、下列诸数是按四舍五入方法得来的近似数： , , 试计算(1) ； (2) ，并并指出计算结果有多少位有效数字。 解: , , . (1)的绝对误差限为, 又,所以,有3位有效数值, 故. (2) 的绝对误差限为,,所以,有3位有效数值, 故 2、应用牛顿法于方程, 导出的迭代公式，并讨论其收敛性。 解: (1) . (2) 当时, 是方程的单根,此时牛顿法在附近是平方收敛的. 当时, 迭代公式退化为, , 迭代公式收敛. 3、用分解求解方程组： 。 解: 设, , 设,则, , 方程化为:,, ,解得. 解方程得:, ,. 4、取初始向量，用Jacobi迭代法求方程组 的解。写出迭代公式，并计算出。 解: , 当时, , , , 所以 5、用线性插值计算的近似值，应选取怎样的结点？计算出近似值。 解: 由于介于和之间, 而和的算术平方根为和. 故, , 此时, . 由线性插值公式得 6、求数据: -3 -2 -1 0 1 2 3 4 2 3 0 -1 -2 -5 的最小二乘拟合。 解: 法方程为,解之得, , , 故数据的最小二乘拟合函数为. 7、试确定常数，，和，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否是Gauss型的？ 解: 公式要确定的参数有个,先设公式对函数精确成立,注意当时所得方程相同. 故最后假设公对函数精确成立,得 解方程组得, , 和, 求积公式为 与高斯型求积公式比较,得出公式是Gauss型的, 它有次代数精度. 三、证明题（6分） 证明求解微分方程初值问题的中点方法为二阶方法。 证明: 由局部截断误差的定义 局部截断误差为同阶无穷小, 故中点方法是二阶方法. 3 第 页(共 3 页)