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Unit 1 悖论常识 数学中有许多著名的悖论，有康托尔最大基数悖论、布拉里——福蒂最大序数悖论、理查德悖论、基础集合悖论、希帕索斯悖论等。数学史上的危机，指数学发展中危及整个理论体系的逻辑基础的根本矛盾。这种根本性矛盾能够暴露一定发展阶段上数学体系逻辑基础的局限性，促使人们克服这种局限性，从而促使数学的大发展。数学史上的三次危机都是由数学悖论引起的. There are many famous paradox in mathematics, Cantor maximum cardinality paradox, bharara -- maximum number paradox, Richards paradox Forti paradox, F Passoss paradox, base set etc.. The history of mathematics of the crisis, the contradiction that logic based endanger the whole theoretical system in the development of mathematics. The fundamental contradiction can expose the limitations given stage of development of mathematical logic based system, encourage people to overcome this limitation, so as to promote the development of mathematics. Three times of crisis in the history of mathematics is caused by mathematical paradox. 数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。按照悖论的广义定义，所谓数学悖论，是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。同时又带动了整个数学的发展，这便是数学悖论。 Mathematical paradox is a paradox, occurring mainly in mathematics study. According to the general definition of paradox, the mathematical paradox, refers to occur both mathematical specification can not solve the contradiction between the knowledge in the field of mathematics, this contradiction can be resolved in the mathematical specification of the new. At the same time also drives the development of the whole mathematics, it is mathematics paradox. 几个小悖论 伽利略悖论Galileos paradox 每个人都知道“整体大于部分”这个事实，而伽利略在1638年提出“部分可以等于整体”的悖论。在数学上两个集合元素个数相等指它们之间能建立一一对应的关系。众所周知：1，4，9，16，… ，…是自然数全体的一部分，或者说开方数的个数比自然数的个数要少些，一般人认为这是真理。首先对这事实怀疑的是伽利略，他利用关于数学上的“相等”这种方法，发现自然数的集合1，2，3，…与其平方数之集12，22，32，…可以建立一一对应关系，因此从个数上来说它们应当相等。 事实上，公理“整体大于部分”是从事物的有限量上总结出来的，而且仅适用于有限量，因此当被研究的对象是无限领域时，这条公理就失效了。 分球定理 如果有人说，你能将一个地球那么大的东西分解成若干（有限）个部分，然后将这些部分分别经过多次旋转或者平移（都是刚性的，不做任何变形），重新拼接在一起竟然可以变得像乒乓球那么大，你是不是觉得不可思议呢？ 1924年，Banach-Tarski提出并证明的分球定理恰恰保证了这一点。该定理说：一个球U可以分解为两个不相交的集合X和Y的并，使得U全等