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优秀的数学家在定理或理论之间看到了类似，卓越的数学家则从类似中间看到了类似7 i, J: r6 D1 S? ? ——Banach（巴拿赫）2 a1 `4 G6 I- U$ R, F/ d1 \0 y7 Y( X# b5 ^3 D毋庸置疑，Lefschetz（莱夫谢茨）和Wiener（维纳）都是这种可以从相似之间看到相似的数学家。不过他们的讲课技巧实在是不能让人恭维。3 @2 N% h# d; E9 gRota（罗塔）曾讲了一个Lefschetz的故事，关于他的课是如何难懂，因为他经常语无伦次。这是几何课的开场白：“一个Riemann（黎曼）曲面是一定形式的Hausdroff（豪斯多夫）空间。你们知道Hausdroff空间是什么吧？它也是紧的，好了。我猜想它也是一个流形。你们当然知道流形是什么。现在让我给你们讲一个不那么平凡的定理——Riemann-Roch（罗赫）定理。”要知道第一节Riemann曲面的课如果这样进行的话，恐怕Riemann复生也未必可以听懂。+ p G1 ^ p! t; C4 M( Q Wiener尽管是个天才，却是那种不善于讲课的那种，总是以为把真正深刻的数学讲出来一定要写一大堆积分符号。有一个关于他和中文的事情，Wiener 天真的认为自己懂一种汉语，一次在中国餐馆，他终于有了施展的机会，但是服务员却根本不知道他讲的是汉语。最后，Wiener不得不评论：“他必须离开这里，他不会说北京话。”…… ? ??V( a# 百思论坛数学与物理/forum-430-1.html 数学分支的细化与深入： 本科阶段： 连续与离散的关系？无穷与有限的关系？ 一个闭形式何时才是恰当形式？在同伦于点的区域（单连通区域）有Poicare引理之逆告诉我们这个自动成立。在非单连通区域有著名的deRham定理告诉我们如何成立，那就是微分形式在所有闭链上的积分为零。 代数拓扑学中研究与连续映射的连续形变有关的各种课题是同伦论（homotopy theory），庞加莱已经提出了基本群的概念，后来切赫和胡雷维奇先后提出同伦群的观念。 ？空间X的n维同伦群是n维球面Sn到空间X的连续映射按同伦关系进行分类而得的同伦类集合（？用到了连续映射同伦的概念） 20世纪20年代德国数学家霍普夫（Huopufu，1894.11.19-1971.6.3）探讨了球面同伦理论。1935-1936年，波兰数学家胡雷维奇（W.Hurewicz，1904-1957）引进拓扑空间的n维同伦群，建立群的同伦理论。Hurewicz建立了同伦群理论,推广了非不变测度空间上的伯克霍夫遍历定理。1936年，另一位波兰数学家博苏克于定义了从拓扑空间到n维球面的映射类的和，由此得到博苏克上同伦群。20世纪40年代原苏联数学家庞特里亚金给出从（n十k）维球到n维球的映射同伦分类，被称为庞特里亚金类。20世纪50年代初，法国数学家塞尔提出了研究同伦群的新方法，利用纤维化的谱序列，取得了球面同伦群计算的突破性进展。 1956年，美籍匈牙利裔数学家拉乌尔·博特（Raoul Bott，1923.9.24生于匈牙利布达佩斯-2005.12.20，2000年荣获沃尔夫数学奖，又译作鲍特）对于李群的 稳定同伦群得出周期性定理，这一结果是K理论的重要组成部分。 拉乌尔·博特（Raoul Bott，1923.9.24-2005.12.20，2000年荣获沃尔夫数学奖）用莫尔斯理论得出典型群同伦群的周期性定理——博特周期性定理（1956） ，成为K理论的一个来源。？开始是用莫尔斯理论证明的，后来又出现了K理论的证明。博特周期性定理描述了酉群的同伦群和正交群同伦群的周期性。 简单的讲：πk(U)=πk+2(U)πk(O)=πk+4(Sp)πk(Sp)=πk+4(O),k=0,1,……注意第2和第3个等式蕴涵了正交群的同伦群具有周期8。20世纪50年代末英国数学家J．F．亚当斯提出新的谱序列，成为研究同伦论的重要工具。？同伦群包括着拓扑空间的丰富信息，但是，它是极为难计算的群。 若其中有一个洞，那么，所有道路可按绕该洞的圈数多少划分，0圈一类、1圈一类、等等。因此，？该空间同伦群同构于整数群Z 基本群定义来源于同伦的概念，同伦是什么啊？他描述的是一几何对象（这里用曲线举例，可以推广到高维的）能连续的从一种形状变化为另一种形状的特性。同伦概念的直观解释就是连续变形，以此为基础定义的基本群被称为同伦群。 我们把能这样变化的曲线看成一个类，叫道路类，取个基点再封闭起来，（就是一条蛇咬到尾巴的样子）叫闭路类，基本群就born了。这是一个重要的拓扑不变量（？更是同伦不变量），可牛啦~维数可以任意大，就是不太好算。 同伦是抽象的拓扑概念，最常见的是道路同伦。先给一个拓扑