曲线积分及其与路径无关问题.docVIP

曲线积分与路径无关问题：,其线密度为求弧的质量。 , (2)若，则=，即对弧长的曲线积分与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。 (3)对弧长的曲线积分的计算 设在曲线弧上有定义且连续,的参数方程为 ，,其中、在上具有一阶连续导数，且，则曲线积分存在，且 = 特别,当时, 表示曲线弧的弧长。 当曲线弧的方程为 ，在上有连续的导数，则=； 把线弧的方程为化作参数方程，， = 2. 第二型曲线积分 (1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场，其中为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点沿光滑曲线运动到点，求力场的力所作的功。 ， (2)设为有向曲线弧，为与方向相反的有向曲线弧，则 即第二型曲线积分方向无关 (3)设平面上的有向曲线的参数方程为 ，当参数单调地由变到时,曲线的点由起点运动到终点,、在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且，函数、在上连续，则曲线积分存在，且 = 这里的是曲线的起点所对应的参数值，是曲线的终点所对应的参数值，并不要求。 若曲线的方程为对应于的起点，应于的终点，则 =； 若曲线的方程为对应于的起点，应于的终点，则 =。 同样，以上并不要求，。 公式可推广到空间曲线上对坐标的曲线积分的情形， 若空间曲线的参数方程为，则 =这里下限为曲线的起点所对应的参数值，上限为曲线的终点所对应的参数值。 例1 计算，其中 (1)为抛物线上从点到点的一段弧。 (2)为从到点的直线段. 解法1 (1)由知不是的单值函数，因此不能运用公式（2），但可运用公式（3），这里，从变到，于是 ===。 解法2 当把曲线分成与两部分时，在每一部分上都是的单值函数。在上，由变到；在上，，由变到。于是 =+ =+ == (2) 直线的方程为,,从到,于是 == 从这个例子可以看出, 对坐标的曲线积分沿不同的路径,曲线积分不一定相等. 3. 格林公式及其应用 格林公式: 设平面闭区域D由分段光滑的曲线围成，函数及在上具有一阶连续偏导数，则 其中是的正向边界曲线。 在公式(1)中取，可得， 上式左端为闭区域的面积的两倍，因此计算有界闭区域的面积的公式为: 。 例2 计算星形线所围图形的面积. 解 由公式(2)得 = ==. 例3 在过点Ｏ(0,0)和Ａ(π,0)的曲线族中，求一条曲线Ｃ，使沿该曲 线从Ｏ到Ａ的线积分的值最小。 解 本题可用代入法直接求解，这里采用“补线法”用格林公是求解。 令，即AO直线段。 。 用一元函数极值的方法得时达到最小值。 4. 平面曲线积分与路径无关的条件 从定义我们知道，曲线积分的值与被积函数与积分的路径有关，但也有特殊情形，如重力对物体作的功只与起点、终点位置有关，与物体移动的路径无关； 定义：（曲线积分与路径无关问题）设是平面上的一个开区域，以及在内具有一阶阶连续偏导数.如果对内任意两点与，以及内从点到点的任意两条曲线、，恒有=，则称曲线积分在内与路径无关。 定理：以下条件等价 在区域内曲线积分与路径无关的充分； 内沿任一闭曲线的积分为零； 设开区域是一个单连通域，函数以及在内具有一阶连续偏导数且在内恒成立； 为全微分． 例3 计算,其中是从点经圆周 上半部到点的弧段。 解 直接计算曲线积分比较难,先判断是否与积分路径无关. 这里,, 有=,且与在全平面上有一阶连续偏导数. 因此这个曲线积分与路径无关.为便于计算,取直线段作为积分路径.于是 = = 例4 计算,其中为: （1）任一简单闭曲线,该闭曲线包围的区域不含有原点; （2）以原点为圆心的任一圆周. 解 这里,, ,且与在不含原点的任意一个区域内具有一阶连续偏导数. （1） 这个曲线积分与路径无关,所以 . （2）由这一圆周所包围折区域内含有原点,因此不满足定理(3)及格林公式的条件,只能直接计算.这一圆周的参数方程为,, 则 . 例5设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数. （I）证明：对右半平面x0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有； （II）求函数的表达式. 【分析】 证明（I）的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而（II）中求的表达式，显然应用积分与路径无关即可. 【详解】 （I）