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拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的概念 主要应用 建立传递函数概念，以便于分析系统的动静态特性 求解系统的微分方程，得出时间响应。 拉普拉斯变换的数学表达式 定义：设函数当时有定义，且广义积分 在s的某一区域内收敛，则由此积分确定的参数为s的函数 叫做函数的变拉普拉斯换，记作 函数F（） 也可叫做的像函数。 若F（s）是的拉氏变换，则称是F（s）的拉氏逆变换（或叫做的原函数），记作 说明：一般控制系统的数学模型均能满足拉氏变换条件。 t在内，≡0 在t≥0的任意有限区间内，是分段连续的 函数的积分形式存在并收敛 即 ＜∞ 求指数函数（是常数）的拉氏变换。 解 有 此积分在s时收敛，有 所以 求单位阶梯函数 的拉氏变换。 解 此积分在时收敛，且有 所以 求（为常数）的拉氏变换。 解 求正弦函数的拉氏变换。 解 同样可算得余弦函数的拉氏变换 下面我们给出狄拉克函数的拉氏变换。 在许多实际问题中，常常会遇到一种集中在极短时间内作用的量，这种瞬间作用的量不能用通常的函数表示。为此假设 其中是很小的正数。当时，的极限 叫做狄拉克函数，简称函数。 的图形如图11-1所示。 显然，对任何，有 所以规定 工程技术中常将叫做单位脉冲函数。 求狄拉克函数的拉氏变换。 解 先对作拉氏变换 的拉氏变换为 用罗必达法则计算此极限，得 所以。 拉氏变换的性质 本节介绍拉氏变换的几个主要性质，它们在拉氏变换的实际应用中都很重要。这些性质都可由拉氏变换的定义及相应的运算性质加以证明，这里不再给出。 性质1（线形性质或迭加性质） 若、是常数，且 则 性质1表明，函数的线形组合的拉氏变换等于各函数的拉氏变换的线形组合。 性质1可以推广到有限个函数的线形组合的情形。 求函数的拉氏变换。 解 由性质1，有 性质2（平移性质或位移定理） 若，则 性质2表明，像原函数乘以，等于其像函数作位移，因此性质2称为平移性质。 求及。 解 由平移性质及 得 性质3（延滞定理） 若 则 函数与相比，滞后了个单位，若表示时间，性质3表明，时间延迟了个单位，相当于像函数乘以指数因子，如图11-2所示。 求函数 的拉氏变换。 解 由及性质3可得 求如图11-3所示的分段函数 的拉氏变换。 解 由得 性质4（微分性质） 若 ，则 性质4表明，一个函数求导后取拉氏变换，等于这个函数的拉氏变换乘以参数再减去这个函数的初值。 性质4可以推广到函数的阶导数的情形。 推论 若，则 特别地，若，则 （11-2） 性质4使我们有可能将的微分方程化作的代数方程。因此性质4在解微分方程中有重要作用。 利用微分性质求。 解 令，则 ， ， ， 由式（11-2）得 即 移项并化简，即得 利用微分性质，求的拉氏变换。其中是正整数。 解 由 且 由式（11-2），有 而 即得 所以 性质5（积分定理） 若，则 性质5表明，一个函数积分后取拉氏变换，等于这个函数的拉氏变换除以参数。 性质5也可以推广到有限次积分的情形 除了上述五个性质外，拉氏变换还有一些性质，一并列于表11-1。另外，我们并不总是用定义求函数的拉氏变换，还可以查表求拉氏变换。现将常用函数的拉氏变换列于表11-2以供查用。 查表求。 解 由表11-2的9得 再由表11-1的9得 求。 解 由 得 查表， 所以