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大学生数学竞赛解析几何培训讲义 第五章 二次曲线的一般理论 一、本章知识脉络框图 二、本章重点及难点 二次曲线属于平面解析几何的内容。在中学我们已经对二次曲线的各种具体表现形式做了比较多的研究，如椭圆、双曲线、抛物线等。在这一章，我们主要是对所有的二次曲线作一个一般理论上的研究。 本章的重点是： 二次曲线与直线的交点； 二次曲线按中心分类、二次曲线按渐近方向分类； 二次曲线的中心、渐近方向和渐近线、主方向和主直径； 化简二次曲线. 本章的难点是： 主方向和主直径； 化简二次曲线. 利用二次曲线的不变量解决有关问题. 三、本章的基本知识要点 1.将二次曲线的一般方程表示为双线性式： 其中 也可以表示成短阵形式： 其中矩阵A是一个对称矩阵 2.将直线代入二次曲线的方程中，得到 其中 记 通过方程的系数的讨论，直线与二次曲线的位置关系如下： （1）0 直线与二次曲线有两个不同的实交点 （2）=0 有一对相重合的实交点 （3）＜0 没有实交点 （4） 直线与二次曲线只有一个实交点 （5） 直线与二次曲线没有实交点 （6） 直线落在曲线上 3.在二次曲线上一点Mo(x。，y。)处的切线方程 4.满足的方向 称为二次曲线的渐近方向，按渐近方向可以将二次曲线分成三类： （1）0：椭圆型、 （2）=0：抛物型 （3）＜0：双曲型． 其中 5.满足的点(x。，y。)称为二次曲线的中心，按中心也可以将二次曲线分为三类： （1）：中心曲线 （2）：无心曲线 （3）：线心曲线． 6. 满足的点(x。，y。)称为二次曲线的奇异点，二次曲线在奇异点的切线不确定. 7.二次曲线的直径是二次曲线的对称轴． （1)中心曲线无实的渐近方向，对任意方向的直径为 （2）无心曲线的直径平行于曲线的渐近方向． （3)线心曲线只有一条直径： 8.二次曲线的与非渐近方向共轭的直径方向 叫做非渐近方向的共轭方向，具有共轭方向的直径称为共轭直径. 9.与共轭方向垂直的方向称为主方向，具有主方向的直径称为主直径. 成为二次曲线的主方向的条件是 (5—1) 由特征方程 即解出再代入(5—1)就可求出曲线的主方向.其中 10. 化简二次曲线的方程 （1）用坐标变换化简二次曲线的方程 如果曲线为中心二次曲线可以求出中心作新坐标系的原点进行移轴消去二次曲线方程的一次项，然后再通过使转角满足的转轴变换消去二次曲线方程的交叉项；如果曲线是无心曲线，则先作使转角满足的转轴变换消去二次曲线方程的交叉项，然后再通过对方程配方的方法找出移轴公式进行移轴化简方程；如果曲线是线心曲线，可以通过分解因式的方法化简. 利用转轴来消去二次曲线方程的xy项，它有一个几何意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置.这是因为如果二次曲线的特征根确定的主方向为，那么由(5—1)可以得 所以 因此，上面介绍的通过转轴与移轴来化简二次曲线的方程，实际上是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置.如果是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合；如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合；如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合.因此，二次曲线的方程的化简，只要先求出曲线的主直径，然后以它作为坐标轴，作坐标变换即可. (2)用曲线的不变量和半不变量化简二次曲线的方程 在直角坐标变换下，都是不变量；是半个不变量．所以可以通过二次曲线的系数矩阵A求出二次曲线的标准方程．其中 如果曲线为中心二次曲线，从特征方程求出，就可以写出曲线的简化方程为. 如果曲线是无心曲线，简化方程为. 如果曲线是线心曲线，简化方程为. 四、基本例题解题点击 【例1】作转轴变换，消去二次曲线中的项，求转角. 【解】因为作使的转角就可以消去二次曲线方程中的项 所以， ■ 【例2】 求二次曲线的简化方程. 【提示】因为只要求曲线的简化方程，不要求画图.因此可以用二次曲线的不变量来解. 【解】因为，所以曲线为中心曲线. 从特征方程即求出， 简化方程为，解得简化方程为 ■ 【例3】 作移轴变换，消去中心二次曲线中的一次项，求新原点的坐标. 【解】因为，所以曲线为中心曲线. 只要求出曲线的中心作新坐标系的原点进行移轴就可以消去二次曲线方程的一次项. 解方程组 求得曲线的中心坐标为（0，1）. ■ 【例4】 如果二次曲线是线心曲线，求的值. 【解】因为二次曲线为线心曲线的充要条件是. 所以 求出