必威体育精装版教案人教版高一数学3.集合间的基本运算讲述.docVIP

集合的基本运算 一、知识概念 1、并集的定义 （1）并集定义的三种语言 文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B 符号语言：A∪B={x|x∈A,或x∈B} 图形语言： （2）正确理解文字语言表达式中的“或”字和概念中的“所有”二字. 【要点辨析】①并集中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一，并不兼存；而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互相排斥的，“x∈A,或x∈B”包括下列三种情况：a、x∈A，但xB；b、xA,但x∈B；c、x∈A且x∈B.用Venn图表示这三种情况如下图： ②对概念中的“所有”的理解，不能认为A∪B是由A的所有元素和B的所有元素组成的集合，即简单拼凑，要满足集合中元素的互异性，相同的元素即A与B的公共元素只能算作并集中的一个元素.例如，A={1,2,3}，B={1,3,5,7}，A∪B={1,2,3,5,7}，而不能写成A∪B={1,2,3,1,3,5,7} （3）求A∪B必须掌握两个步骤 “A∪B”是所有属于A或属于B的元素并在一起构成的集合，因此：①把集合A、B的元素合在一起；②使A、B的公共元素在并集中只出现一次即可，如：已知A={a, b, c, d, e }，B={b, c, d, e, f }，求A∪B，则A∪B={a, b, c, d, e }∪{b, c, d, e, f }={a, b, c, d, e, f }。 2、交集的定义 交集有如下三种表示方法： 文字语言：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B（读作“A交B”） 符号语言：A∩B={x|x∈A，且x∈B} 图形语言： 【要点辨析】（1）交集中的“且”指的是用“且”连接的几个条件必须同时满足. （2）对于“”，不能仅认为“中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时还表示“集合A与B的公共元素都属于 ”.这就是定义中“所有”二字的含义，而不是“部分”公共元素.如A={1,2,3,4}，B={2,3,4,5}，则={2,3,4}，即2∈，3∈，4∈. （3）当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是. 3、补集的概念 （1）全集 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作Ｕ. （2）补集 补集有如下三种表示形式： 文字语言：对于一个集合Ａ，由全集Ｕ中不属于集合Ａ的所有元素组成的集合称为集合Ａ相对于全集Ｕ的补集，记作 符号语言： ＝｛x | x∈Ｕ且xＡ｝ 图形语言： 【要点辨析】（1）补集既是集合间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件. （2）补集是针对给定集合A和U（）相对而言的一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合U，它的补集不同.如：集合A={正方形}，当集合U={菱形}时，={一个内角不等于的菱形}，而当集合U={矩形}时，={邻边不相等的矩形}. （3）表示U为全集时A的补集，如果全集换成其他集合（如Z时），则符号中的“U”必须换成相应的集合（即）. （4）若x∈U，，则，或，如U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，则有或 4、集合的运算性质与应用 （1）并集的性质 ①两个集合的并集满足交换律，即A∪B= B∪A； ②一个集合与其本身的并集是本身，即A∪A=A； ③一个集合与空集的并集是其本身，即A∪=A； ④一个集合是其与任意一个集合的并集的子集，即； ⑤A∪B=A. （2）交集的性质 ①两个集合的交集满足交换律，即A∩B= B∩A； ②一个集合与其本身的交集是本身，即A∩A=A； ③一个集合与空集的交集是其空集，即A∩=； ④一个集合是同它的子集的交集的等于其子集，即若，则A∩B= A； ⑤两个集合的交集是其中任一集合的子集，即. （3）全集与补集的性质 ①一个集合与其补集的并集是全集，即A∪=U； ②一个集合与其补集的交集是空集，即A∩= ③一个集合的补集的补集是其本身，即=A； ④空集的补集是全集，即： ⑤全集的补集是空集，即. 5、补集的求法 从全集U中去掉所有属于A的元素，剩下的元素组成的集合即为A在U中的补集.如已知U={a, b, c, d, e, f },A={b,f}，求.该题中显然，从U中出去子集A的元素b, f，剩下的元素a, c, d, e组成的集合为={a, c, d, e}.另外，原题若是无限集，在实数范围内求补集，我们则可以充分利用数轴的直观性来求解.如已知U=R，A={x|x3}，求.用数轴表示下图可知={x|x≤3}，用下图A部分（包括3）表示： 【例】不等式组的解集为A，U∈R，试