不等式：基本不等式、对勾函数、判别式解法讲述.docxVIP

不等式不等式是高考必考的热点内容，考查的广度和深度是其他章节无法比拟的，任何一份高考试卷中，涉及到不等式内容的考点所占比例超过70%。一方面，考查不等式的性质、解法、证明以及实际应用；另一方面，与高中阶段的数学各个部分都存在着密切的联系。因此，对于不等式的学习，应达到多层面，多角度熟练掌握的程度。第一节基本不等式1.证明：当,展开后即可得到所求不等式及等号成立的条件。2.基本不等式的变形（包括2个方面）①若,若,若,(上述3个不等式，考虑如何证明？)注：上述的不能仅仅理解为两个参数，它可以是表达式或函数的解析式。②（注意：不等式的右边是）例题1.已知解：，∴；求有两种方法，其一是配式，，∴；另一种方法是，由,∵∴。例题2.已知,求证：。证明：由基本不等式得：，∴而条件是,即对于不等式等号成立，即。注：本题把等号成立的条件，作为求证的目标，比较新颖。例题3.已知解：,这里,.注：解答本题的关键是，如何运用好，两次使用了基本不等式，但不矛盾。例题4.求的最大值。解：函数的定义域为,可以用其它的方法来解，比如用两边平方转化成二次函数求极值等。但由于两式平方和为常数3，故应用基本不等式的变形公式简单些。∵2，当且仅当→时成立，故。例题5. 已知,则的最小值为（ ）。解：当且仅当等号成立，的最小值为16.注：这里要求2元表达式的的最值，不能直接整体应用基本不等式（即不能直接整体消去a、b）而且也没有给出条件等式（即不可能代入消元）,因此，对局部用基本不等式的变形公式进行处理。例题6.若二次函数的值域为[0,+∞),则的最小值为（ ）。解：由题意得则，当且仅当a=c=2时，等号成立，所以的最小值为。注：本题也可用消元法，由消去a或c，比较麻烦。例题7.已知a,b,c0,且例题8.已知a,b,c0,且的最大值为（ ）。解：,当且仅当等号成立，∴所求的最大值为。例题9.已知函数的定义域是[a,b],其中，(1)求的最小值；(2)若,求证：.解：(1)由基本不等式的变形公式可得，∴,上面各式等号成立的条件都是：时取得（虽然两次使用了基本不等式，但x的取值不矛盾），∴。(2)设时，由(1)的结论可得：,同理 ②由②得：.上面两次用到基本不等式，等号成立的条件都是s=2时取得，∴(2)得证。例题10.已知两条直线和图象从左至右相交于A,B,与函数图象从左至右相交于C,D,记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时，的最小值为（）。解：在同一坐标系中作出, 图象，令,∴,故由,当且仅当，即取等号，故(。注：本题经过巧妙的”伪装”,将基本不等式融入到函数中，将文字语言转化为符号语言，实现基本不等式模型的构建，对学生的运算能力和思维水平提出了很高要求，具有较好的区分度。例题11.若平面向量满足，则的最小值是（）。解：由，两边平方，得4，由基本不等式得：4(当且仅当)。设θ为夹角(),则当时，(当且仅当)，因此。注：本题将基本不等式与向量相结合，通过将向量的模平方，借助基本不等式和斜率数量积的性质，建立关于的不等式。此题视角独特，构思精心。例题12.函数图像上两相邻的最低点与最高点之间的最小值是（）。解：如图，设函数图像上两相邻点中最高点为A,最低点为B且过A点平行与x轴的直线与过B点垂直于x轴的直线相交于C,则，即，故。注：本题将基本不等式渗透到三角函数中，关键是运用三角函数的周期、振幅，合理表示出相邻的最低点与最高点的距离。此题情景新颖，自然贴切，这种不拘题型约束的命题方式是高考的一大亮点。例题13. 设是等比数列，公比，的前n项和，记。记为数列的最大项，则( ).解：由题意，，此时。注：本题将基本不等式嵌入数列解题中，运用数列的基本量及性质将条件转化为关于n的代数式，通过换元后转化为基本不等式模型。例题14.一个四面体的一条长为x，其余所有棱长均为1，则此四面体体积V的最大值是（）。解：由题意得：(当且仅当等号成立)，故的最大值是。注：本题把基本不等式与立体几何的相关知识进行交汇，如果学生对空间图形有较深刻的认识，可以准确建立V(x)的函数关系式以后求解，使问题的综合性进一步加强，充分体现出数学试题的多变性。例题15. 平面直角坐标系xoy中，已知点A(0，1),B点在直线上，M点满足点M的轨迹为切线C,求C的方程；(2)P为C上的动点，l为C在得P处的切线，求O点到l的距离的最小值。解：(1)所以l的斜率为故l的方程为则O点到l的距离,又∴，∴O点到l的距离的最小值为2.第二节“对勾”函数的图象、性质及应用“对勾”函数与基本不等式有着密切的联系，其图像如右图，当x0时,;当x0时，(同时,也是函数增减区间的分点)。以上在不少的例题中已经运用了这个结论。事实上，函数还有一个很重要的代数性质在变