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一．关于下降法的下降方向问题 考虑如下方程 （1） 其中是可逆方阵，且其对角线元素全部非零，列向量。 由此我们建立一个求解方程组（1）的变分方程 （2） 其中是维列向量。我们可以得到：对于满足的充分必要条件是。这样我们就把问题转化为求解的极小值问题。为了找到的极小值点，我们从人一出发，沿着在点沿着某一个制定的方向有哪些信誉好的足球投注网站下一个近似点，使得在该方向上达到最小值。在最速下降法中，我们会选择在点下降最快的方向，即在这点的负梯度方向。对于共轭梯度法，我们的选取方式为，，，并且，即可求得。但对于非正定矩阵，我们不能保证是非零的，所以我们将用矩阵代替公式中的。的对角线上的元素为对应的的对角线元素的绝对值，其他元素全部为零。于是我们可以得到一个新的算法如下： 当成立时，则停止计算，其中为终止准则。 数值算例： 下面给出一些用上述方法求解线性方程组的例子，并且对迭代次数和计算时间进行了统计。 例1： ，。 终止准则。其中为正定矩阵，所以最速下降法和共轭梯度法全部都适用。 最速下降法 共轭梯度法 变形共轭梯度法 迭代次数 15 16 23 计算时间 0.000275 0.000352 0.003067 例2： ，。 终止准则。其中为可逆矩阵。 最速下降法 共轭梯度法 变形共轭梯度法 迭代次数 无效 无效 646 计算时间 0.021311 例3： ，。 终止准则。其中为正定矩阵。为维向量。 最速下降法 共轭梯度法 变形共轭梯度法 n 迭代次数 计算时间 迭代次数 计算时间 迭代次数 计算时间 1000 14 0.084149 10 0.316603 158 1.596307 2000 14 0.316603 10 0.352262 158 5.809341 将例3中的的对角线元素改为-2，则为可逆矩阵但非正定，此时得到的结果为 最速下降法 共轭梯度法 变形共轭梯度法 n 迭代次数 计算时间 迭代次数 计算时间 迭代次数 计算时间 1000 无效 324 3.371047 无效 2000 651 26.002123 539 21.007837 由此可见，对于一个可逆但非正定的矩阵，以上三种方法均未必有效。他们的可行性有待进一步的探讨。 戴宽平 1