有限余挠模及其对环的刻画_NoRestriction.pdfVIP

湖南师范大学 硕士学位论文 有限余挠模及其对环的刻画 姓名：肖启忠 申请学位级别：硕士 专业：基础数学 指导教师：陈焕艮 摘 要 同调代数初成于上世纪40年代中期，是由著名数学家S．Eilenberg与 S．MacLane等人的一系列重要工作奠基而成的--f]学科．它的思想方法 主要来自代数拓扑学中复形的同调理论，它的研究对象是环模以及环 模上的复形，在发展的过程中，同调代数充分地使用了范畴论中的方法 与理论，并以Horn，圆及它们的导出函子Ext，nr作为最基本的函子所 以它能有效地给出环类的一些同调不变量(同调维数)，使同类的环 具有相同的同调不变量，从而给环论的研究提供了一个有力的新工具． 我们称一个冗一模M为余挠R一模f1】，如果对任意的一个平坦R一模 F，都有Ext,(F,M)=0．余挠模与投射模、内射模、平坦模一样，是一 种重要的模类，也是同调代数的主要研究对象之一．余挠模与其它模 类的联系非常紧密，尤其是与平坦模和内射模更是密不可分．由余挠 模的定义我们已看出它与平坦模是相对而生的，余挠模的许多性质也 是借助于平坦模得出来的．例如，现已证明，任意环R上的模都有平坦盖 和余挠包，并且任意R一模有余挠包当且仅当它有平坦盖【7】．而且，我们 发现，余挠模可以看作内射模的推广，正如平坦模是投射模的推广一 样．通过对余挠模的研究，有助于我们进一步了解各种模类的性质及相 互关系．特别是在研究余挠模与其它模类的关系这个过程中，我们发 现它对于某些环的刻画是非常有用的．但是数学界对余挠模的研究相 对其它三大模类则起步较晚，始于上世纪八十年代，时间还不到三十年， 这方面的论著也不是很多，相关专业的研究生教材中关于余挠模这方 面的内容篇幅比较少，涉及的深度和广度也很有限．因此对余挠模的 研究具有非常重要的实践意义和理论价值． 这篇论文围绕余挠模这个课题，首先对余挠模的有关概念和性质 进行了较为全面的概括，然后在余挠模的基础上进行了拓展，引入了 有限余挠模的概念．设R是一个环，我们称一个R模M为有限余挠模，如 果对任意的有限生成的主平坦冗一模F，都有ExtlR(F,M)=0．随后论 文对有限余挠模的性质进行了初步探究．最后论文探讨Noether环上 很好的性质：(Q)在Noether环中，所有有限生成模的子模也是有限生成 的；(b)Noether环的理想都是有限生成的．在此基础上得到了一些环模 的新的性质，从而揭示了有限余挠模在Noether环的刻画上的重要作用． 关键词： 余挠性，环的刻画． II ABSTRACT was isa establishedinthemiddleof it Homologicalalgebra 1940s，and thatisbasedona madefamousmath- importantsubject seriesofresearchby ematician andS．MaclaneandSOon．It’S andmethods S．Eilenberg thoughts comefromthe of in mainly homologicaltheorycomplexalgebraictopology． and ofho- andmodules