协方差与相关系数矩与协方差矩阵.pptVIP

§4.3 协方差与相关系数 对于二维随机向量(X,Y)， 除了其分量X和Y 的期望与方差之外, 还有一些数字特征, 用以刻画X与Y之间的相关程度，其中最主要的就是下面要讨论的协方差和相关系数。 定义1：若 E{[ X-E(X)][Y-E(Y)]} 存在，则称其为X 与Y 的协方差，记为Cov(X,Y), 即 4.3.1 协方差 Cov(X, Y) = E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}. (1) 注意： (1)协方差的计算公式： (2)Cov(X,X)＝Var(X) Cov(X,Y)＝E(XY)- E(X)E(Y) [X-E(X)][Y-E(Y)] ＝XY-E(X)Y-XE(Y)+E(X)E(Y) (3)Cov(X,C)＝0 (3)Cov(X1+X2, Y)= Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y) ； (1) Cov(X, Y) = Cov(Y, X)； 协方差性质: (2)设 a, b, c, d 是常数，则 Cov( aX+b, cY+d ) = ac Cov(X, Y) ； (4)Cov(X, Y) =E(XY)-[E(X)][E(Y)] ， (5)Var(X±Y)=Var(X)+Var(Y) ±2Cov(X, Y). 当 X 和 Y 相互独立时，Cov(X, Y)=0； 4.3.2 相关系数 为随机变量X 和Y 的相关系数 。 定义2: 设Var(X) 0, Var(Y) 0, 则称 在不致引起混淆时，记 为 。 性质： 当且仅当X与Y之间有线性关系时 注：(1) 相关系数的意义 X与Y之间有线性关系. 等号成立。 由于当 X 和 Y 独立时，Cov(X, Y)= 0 . (2)X 和Y 独立时, ρ=0，但其逆不真； 但ρ=0 并不一定能推出 X 和 Y 独立。 所以， 证明: 例 1：设 (X,Y) 服从单位 D={ (x, y): x2+y2≤1} 上的均匀分布，证明X与Y不相关也不独立。 （课本P82例4.18） 所以，Cov(X, Y)= E(XY)-E(X) E(Y) = 0 . 同样，得 E(Y)=0, 又，Var(X) 0, Var(Y) 0 . 所以，?XY = 0，即 X 与 Y 不相关。 但是，在前面已计算过: X与Y不独立。？ X Y -1 0 1 －1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 例2: (X,Y)的分布律为： 验证X和Y是不相关的， 但X和Y不是相互独立的. 解: X与Y的分布律为： 3/8 2/8 3/8 E(X)=E(Y)=0, E(XY)=0, Cov(X,Y)=0, 所以X和Y不相关. 所以X和Y不独立. 3/8 2/8 3/8 相互独立 不相关 例3:设（X，Y）的概率密度为 求E(X),E(Y),Cov(X,Y),D(X+Y), 解: 同理 Cov(X,Y)＝E(XY)-E(X)E(Y)＝－1/36 （X与Y同分布） D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) =5/9. 例4: 设D(X)=1, D(Y)=4,Cov(X,Y)=1,记 求?与?的相关系数. 解: 解： 例5： （课本P83 例4.19） 结论 课本P83例4.20. 定义1：设X是随机变量, 若E(Xk) 存在(k =1, 2, …), 则称其为X 的 k 阶原点矩；若 E{[X-E(X)]k} 存在(k = 1,2, …), 则称其为X的 k 阶中心矩。 §4.4 矩与协方差矩阵 4.4.1 矩 易知：X 的期望 E(X) 是 X 的一阶原点 矩，方差Var(X) 是 X 的二阶中心矩。 内容小结及基本要求： 1.协方差与相关系数的计算公式及性质 2.要求会计算协方差与相关系数 3.掌握X与Y不相关与独立的关系，二维正态随机变量独立性与不相关的等价性. 预习：第五章 极限定理