二行列式的性质.pptVIP

第二节 行列式的性质 克拉默(Cramer)法则由于求解量巨大,没有实际应用价值,一般用于理论上推导 定理 3 如果线性方程组 的系数行列式不等于零，即 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为 证明 在把 个方程依次相加，得 由代数余子式的性质可知, 于是 当 时,方程组 有唯一的一个解 Economic- mathematics * Chapter 1 一 行列式的性质 性质 1 将行列式的行与列互换，行列式的 值不变。即 该性质表明：行列式的行与列具有同等地位。 例如 行列交换后有 性质2 行列式中的某一行（列）若有公因 子，则可将公因子提到行列式外，即 证明 左边按第i 行展开 左边 性质3 若行列式中的某一行（列）的每个元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和,这两个行列式除该行（列)以外其余行（列）全与原来行列式对应的行（列）一样，即 例如 性质4 交换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。即 例如 二、三两行交换后有 性质5 若行列式中两行（列）相同，则行列式的值等于零。即 由于交换两行后行列 式没变，因此 性质6 若行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式的值等于零。即 例如 性质7 若行列式中的某一行（列）的各元素都乘以同一数k，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变，即 ×k 性质8 行列式的某一行（列）的元素与另一(列)的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。即 比较等式两边，可得 总结 按第i 行展开 按第i 列展开 为了便于以后的计算过程更清楚，现引入一些 记号，其中： r 表示 row，c 表示 column： 例1 计算行列式 解 -8 0 4 -6 2 0 1 -1 16 0 -2 7 例2 计算行列式 解 该行列式的特点是： 各行（列）的元素之和为6 例3 解方程 解 因为 D 例4 计算 ? 解 r4?r3 r3?r2 r2?r1 a b c d 0 a a?b a?b?c 0 a 2a?b 3a?2b?c 0 a 3a?b 6a?3b?c a b c d 0 a a?b a?b?c 0 0 a 2a?b 0 0 a 3a?b r4?r3 r3?r2 a b c d 0 a a?b a?b?c 0 0 a 2a?b 0 0 0 a r4?r3 ?a4? 下页 对D1作运算ri?krj? 把D1化为下三角形行列式? 设为 证 例5 证明D?D1?D2? 其中 对D2作运算ci?kcj? 把D2化为下三角形行列式? 设为 于是? 对D的前k行作运算ri?krj? 再对后n列作运算ci?kcj? 把D化为下三角形行列式 故D?p11? ? ? pkk q11? ? ? qnn?D1?D2? 下页 把D2n中的第2n行依次与2n?1行、???、第2行对调(作2n?2次相邻对换)? 再把第2n列依次与2n?1列、???、第2列对调? 得 根据例4的结果? 有 D2n?D2?D2(n?1) ?(ad?bc)D2(n?1)? 以此作递推公式? 即得 D2n?(ad?bc)2D2(n?2) ? ? ? ? ?(ad?bc)n?1D2 ?(ad?bc)n? 解 例6 计算2n阶行列式 其中未写出的元素为0? 结束 证 用数学归纳法 例4 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 n-1阶范德蒙德行列式 小结 （1）行列式的性质 （2）行列式的基本计算方法 性质 1 将行列式的行与列互换，行列式的值不变。 性质2 行列式中的某一行（列）若有公因子，则可 将公因子提到行列式外。 性质3 若行列式中的某一行（列）的每个元素都是 两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和,这 两个行列式除该行（列)以外全与原来行列式对应的 行（列）一样。 性质4 交换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。 性质5