（少年智力开发报2012年9月29日）.-黄梅一中.doc

教你清除公比的盲点（少年智力开发报2012年9月29日）　　　　　　　　　　　　湖北省优秀学科教师　黄冈学术带头人 黄冈名师 黄冈骨干高级教师 黄冈师范学院硕士生导师 黄冈市中考命题审题组成员 黄梅首届名师 黄梅十佳教师 国家奥赛优秀辅导员 中国奥赛一级教练员 黄梅一中 王卫华 邮编435500 794236493@ 等比数列的学习中有许多陷阱，在解等比数列的有关问题时，需特别注意隐含条件，特别是等比数列的公比q，很有几个“盲点”，这几个“盲点”始终伴随着公比，稍有不慎，就会不知不觉地走进误区．本文剖析几例，以期提高同学们的防错意识． “盲点”1：公比q，这是决定公比的首要条件． 例1．数列满足，问数列是不是等比数列？ 　　错解：由知，，而为常数，故数列是首项为，公比为的等比数列． 错因剖析：虽然为常数，但是是随着的变化而变化，当时，，这与等比数列的定义不符． 正解：当时，由知，，而为常数，故数列是首项为，公比为的等比数列． 当时，数列是各项均为0的常数列，不是等比数列． “盲点”2：公比q，这是利用等比数列求和公式的前提条件． 例2．等比数列的首项为，公式为，为前项的和，求. 错解：∵，∴ 错因剖析：此题忽略了时的情况，因为当时，没有意义，此时不能使用该公式． 正解：当时，，， ∴ 当时，∵，∴ “盲点”3：注意“公比q一定是非零常数”是决定等比的前提条件 例3．数列的首项为，且， ，求的通项公式． 错解：由已知，得． 因为，所以，即． 所以是首项为，公比为的等比数列． 所以的通项公式为． 错因剖析：此解中由“”就认为是等比数列．其实，等比数 列定义中的不仅仅是一种形式，而且要求必须为常数，这里的显然不是常数，故解答错误． 正解：由已知得，即时． 所以． “盲点”4：公比归属不分致误 　　例4．已知数列的前项的和，求的值． 　　错解：当时，， 　　由，，可得， 　　故数列是以为首项，公比为3的等比数列， 　　所以． 错因剖析：上述解法误把数列的公比当成了数列的公比．数列 的首项为，其公比为，而不是3． 正解：由于数列的首项为，其公比为， 故． “盲点”5：类比公差的性质致误 例5．下面关于等比数列和公比叙述正确的是（　　） Ａ．为递增数列　　Ｂ．为递增函数 Ｃ．为递增数列　　Ｄ．以上答案均不对 错解：在等差数列中，公差的符号决定了数列的单调性，即时是 递增数列，时是递减数列，时是常数列，所以在等比数列中，公比与1的差的符号也决定了数列的单调性，故选（C）． 错因剖析：由于等差数列和等比数列从定义到性质有着相似或相近的地方，同学们在解答与此有关的问题时，如果对这些认识不清、不透彻，就容易混淆它们在本质上的区别而出错．等比数列的单调性，不但与有关，还与有关． 正解：当或时，等比数列为递增数列，故选（D）． “盲点”6：误设公比致误 例6．已知一个等比数列前四项之积为，第二、三项的和为，求这个等比数列的公比. 错解：∵四个数列成等比数列，可设其分别为，，，，则由已知得：，由①得，代入②并整理得 ，解得或. 故原等比数列的公比为或. 错解剖析：初看起来，上述解法很全面，无懈可击，仔细检审解题过程，不难发现，按上述设法，等比数列公比，各项一定同号，而原题中并无此条件，因此导致错误. 正解：设四个数列依次为，，，，公比为， 则，由②得，代入①得. ∴，. 当时，可得，∴； 当时，可得，∴．