第四讲函数的连续性-数学帮Math110.doc

主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 二次曲面 椭圆锥面： 椭球面： 旋转椭球面： 单叶双曲面： 双叶双曲面： 椭圆抛物面： 双曲抛物面（马鞍面）： 椭圆柱面： 双曲柱面： 抛物柱面： 平面及其方程 点法式方程： 法向量：，过点 一般式方程： 截距式方程： 两平面的夹角：，， ； 点到平面的距离： 空间直线及其方程 一般式方程： 对称式（点向式）方程： 方向向量：，过点 两直线的夹角：，， ； 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角， ； 第九章 多元函数微分法及其应用 连续： 偏导数： ； 方向导数： 其中为的方向角。 梯度：，则。 全微分：设，则 性质 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系： 微分法 复合函数求导：链式法则 若，则 ， 应用 求函数的极值 解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点，令 ，，， 若，，函数有极小值， 若，，函数有极大值； 若，函数没有极值； 若，不定。 几何应用 曲线的切线与法平面 曲线，则上一点（对应参数为）处的 切线方程为： 法平面方程为： 曲面的切平面与法线 曲面，则上一点处的切平面方程为： 法线方程为： 第十章 重积分 二重积分 ：几何意义：曲顶柱体的体积 定义： 计算： 直角坐标 ， ， 极坐标 ， 三重积分 定义： 计算： 直角坐标 -------------“先一后二” -------------“先二后一” 柱面坐标 ， 球面坐标 应用 曲面的面积： 第十一章 曲线积分与曲面积分 对弧长的曲线积分 定义： 计算： 设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则 对坐标的曲线积分 定义：设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，定义，. 向量形式： 计算： 设在有向光滑弧上有定义且连续, 的参数方程为 ，其中在上具有一阶连续导数，且，则 两类曲线积分之间的关系： 设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：， ，， 则. 格林公式 格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在D 上具有连续一阶偏导数, 则有 2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数， 则 曲线积分 在内与路径无关 对面积的曲面积分 定义： 设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数， 定义 计算：———“一单二投三代入” ，，则 对坐标的曲面积分 定义： 设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有界函数，定义 同理， ； 性质： 1），则 计算：——“一投二代三定号” ，，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则,为上侧取“ + ”， 为下侧取“ - ”. 两类曲面积分之间的关系： 其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。 高斯公式 高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数在上有连续的一阶偏导数, 则有 或 通量与散度 通量：向量场通过曲面指定侧的通量为： 散度： 斯托克斯公式 斯托克斯公式：设光滑曲面 ( 的边界 (是分段光滑曲线, ( 的侧与 ( 的正向符合右手法则, 在包含( 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有 为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作: 环流量与旋度 环流量：向量场沿着有向闭曲线(的环流量为 旋度： 第十二章 无穷级数 常数项级数 定义： 1）无穷级数： 部分和：， 正项级数：， 交错级数：， 2）级数收敛：若存在，则称级数收敛，否则称级数发散 3）条件收敛：收敛，而发散； 绝对收敛：收敛。 性质： 改变有限项不影响级数的收敛性； 级数，收敛，则收敛； 级数收敛，则任意加括号后仍然收敛； 必要条件：级数收敛.（注意：不是充分条件！） 审敛法 正项级数：， 定义：存在； 收敛有界； 比较审敛法：，为正项级数，且 若收敛，则收敛；若发散，则发散. 比较法的推论：，为正项级数，若存在正整数，当时，，而收敛，则收敛；若存在正整数，当时，，而发散，则发散. 比较法的极限形式：，为正项级数，若，而收敛，则收敛；若或，而发散，则发散. 比值法：为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散. 根值法：为正项级数，设，则当时，级数收敛；则当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散. 极限审敛法：为正项级数，若或，则级数发散；若存在，使得，则