金融工程学概要.ppt

在时刻t和时刻T之间，lnS服从正态分布 因此 lnST是正态分布，ST是对数正态分布 风险中性定价法 在风险中性世界里： （1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； （2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。 在风险中性的条件下, 参数值满足条件： 同样可以推得： 两步二叉树 一般结论 S f Sud fud Su2 fuu Sd2 fdd Su fu fd Sd 初始股票价格为S，股票价格或者上升到初始价格的u倍，或者下降到初始价格的d倍，无风险利率为r，每个单步二叉树的时间长度是Δt年。 于是, fu=[pfuu+(1-p)fud]e-rΔt fd=[pfud+(1-p)fdd]e-rΔt f=[pfu+(1-p)fd]e-rΔt f=e-2rΔt[p2fuu+2p(1-p)fud+(1-p)2fdd] 结论:衍生工具的价格等于它在风险中性世界的预期收益按无风险利率贴现值. 多步二叉树 看跌期权的例子 欧式期权:执行价格是$52,股票价格按比例20%上升或下降,无风险利率是5% 50 4.1923 48 4 72 0 32 20 60 1.4147 9.4636 40 美式期权 美式期权:执行价格是$52,股票价格按比例20%上升或下降,无风险利率是5% 要在每个节点检验提前执行是否最佳 在最后节点,美式期权价值与欧式期权相同 其它节点,取如下两者中较大者: 提前执行所得的收益 f=[pfu+(1-p)fd]e-rΔt 50 5.0894 48 4 72 0 32 20 60 1.4147 12.0 40 C B A 节点B,提前执行期权的损益为-$8,按公式计算值为$1.4147.选择$1.4147. 节点C,提前执行期权的损益为$12.0,按公式计算值为$9.4636.选择$12.0. 节点A,提前执行期权的损益为$2.0,按公式计算值为$5.0894.选择$5.0894. Delta 股票期权的Delta:股票期权价格变化与标的股票价格变化之比。即Δ 构造无风险对冲:对每一个卖空的期权头寸，应该持有的股票数目(Δ对冲). 看涨期权的Δ是正值；看跌期权的Δ是负值. 为保持无风险对冲, Δ必须随时间的变化而变化!即股票数目要经常调整! 二叉树方法在实际中的应用 多步 近似，但足够精确。 参数的一种可能选择: 时间步长为Δt 股票价格的行为模型 引 言 随机过程(解释) 离散时间随机过程 连续时间随机过程 离散变量随机过程 连续变量随机过程 随机微积分(解释) 例1：一个醉汉在路上行走，以概率p前进一步，以概率1-p后退一步（假定步长相同），以 记他在路上的位置，则 就是直线上的随机游动。 例2：英国植物学家布朗注意到飘浮在液面上的微小粒子不断进行无规则的运动，若记 为粒子在平面坐标上的位置，则它是平面上的布朗运动。 马尔科夫过程:将来与现在有关，与过去无关. 市场弱有效:今天的价格是所有历史信息的反映. 马尔科夫(Markov)性质 维纳过程（wiener process）:马尔科夫过程的特例，也称布朗运动 记z为维纳过程，Δz是在Δt时间内z的变化.则 性质1: 其中，ε是标准正态分布中抽取的一个随机值 性质2:对任何不同时间间隔Δt,Δz相互独立. 维纳过程 对连续时间随机过程，当Δt趋于零时,过程的极限就是维纳过程，性质1也就是如下形式 其中，ε是标准正态分布 考虑在一段相对长的时间T中z值的增加。表示为z(T)-z(0)。将它看作是在N个长度为 的小时间间隔中z的变化的和。 其中 是从标准正态分布的随机抽样值。 的均值=0 的方差=T 一般维纳过程 其中，a和b是常数，a是漂移项，b是方差项. 如何理解漂移项和方差项? Ito过程 其中，漂移a(x,t)和方差b(x,t)是x和时间t的函数. 如何理解漂移项和方差项? 股票的收益率与股票的价格无关 股票的收益率的不确定性与价格无关 股票价格的行为过程 无红利支付 σ:股票价格的波动率 μ:股票的预期收益率 前述模型也称几何布朗运动，其离散形式为: 模型回顾 蒙特卡罗模拟 假设股票的预期收益率为每年14%，收益率的标准差为每年20%(μ=0.14,σ=0.20) 设考虑股票价格在长度Δt=0.01(年或3.65天)的时间的变化, 于是 即均值为0.0014,标准差为0.02的正态分布 给定初期股票价格(初始值,比如$20.00) 产生标准正态随机变量的一个样本v1, 计算ΔS/S=v2=0.0